什么是曲率，高等数学曲率公式推导

（小石头来尝试着回答这个问题！）

有关曲率概念的简要发展历史：

早期曲率的概念是伴随着《微积分》一起产生地，它是针对曲线来说的，也是构成经典微分几何中《曲线论》的基石之一；

后面，以高斯为主的数学家将 曲线的曲率 引入到曲面中，得到了：法曲率、侧地曲率、高斯曲率 等概念，同时也促成了《曲面论》的诞生；

再后面，黎曼将 高斯曲率 等概念 推广到 任意维度的流形中 以 构建《黎曼几何》，以此开启了现代微分几何的大门。

，小石头将具体讲解前两个阶段中的曲率。（至于第三个阶段的曲率，因为需微分流形有关的一系列基础知识，没办法在本回答中进行讨论，以后时机成熟时我们再讨论。）

根据《剖析解读几何》的知识，我们清楚，三维空间 R³ 的空间曲线，可写成请看下方具体内容参数形式（t ∈ R）：

为了方便，仿照空间向量 r = (x, y, z)，我们将 曲线的参数方程，改写为：

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

这样，就得到 一个函数 r: R → R³，称这样的函数为 向量函数。

向量函数 除了自然具有 向量的加法、数乘、模（范数） 等运算 外，我们还定义 微积分运算 请看下方具体内容：

r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))

∫ r(t) dt = (∫ x(t) dt, ∫ y(t) dt, ∫ z(t) dt)

由《高等数学》的微分知识，我们清楚，曲线 r(t) 的导数 r'(t) 为 曲线 在 t 点处的 切线，再按照曲线积分，可得到 曲线弧长函数：

利用弧长函数，曲线从 a 到 b 的 弧长为：s(b) - s(a)。

假设，曲线参数 t 的选取，让：

|r‘(t)| = 1

则，曲线的弧长函数变为：

s = ∫ 1dt = t

这时，曲线就是以 弧长作为参数，即，

r(t) = r(s)

我们称这样的 弧长参数 为 自然参数。

因为 |r'(s)| = 1，故此在自然参数下，曲线 r(s) 的切向 r’(s) 为 单位向量，称为 切向量，记为 α = r’(s)。

因为， α 是单位向量，故此， α 只指示曲线方向，进一步 其导数 α' 自然就是 曲线的方向的变化，令，

κ = |α'| , β = α / κ

则，β 表示 曲线方向变化的方向，κ 就是曲线方向的变化率，称 κ 为 曲率。

曲率 κ(s) 表征曲线 在每个 s 点的弯曲程度，有，

κ(s) = 0 ，曲线为直线；

κ(s) = 非零常数，曲线为位于球面上；

注：除了曲率外，决定曲线形状的另外一个原因 是 挠率。挠率为 0 的 曲线在 一个平面内，这时 假设 曲率为非零常数，则 曲线是一个圆。

有关 挠率的 具体讲解 可参考 我回答的 另一个问题：挠率描述的是空间曲线的什么？

注：α 不指示曲线长度随着 参数 s 的变化快慢。曲线长度的变化率 |r’(t)|，影响不了曲线的形状，它只是表征 参数 t 在曲线内部行走的速度，当 t = s 时，就表达 t 在 做 速度 = 1 的匀速直线（t 在 曲线内部觉得自己走的是直线）运动。

针对任意向量函数 a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)) 和 b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)) 有，

(a ⋅ b)' = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)‘ = a₁'b₁ + a₁b₁' + a₂'b₂ + a₂b₂' + a₃'b₃ + a₃b₃' = (a₁'b₁ + a₂'b₂ + a₃'b₃ ) + (a₁b₁' + a₂b₂' + a₃b₃') = a' ⋅ b + a ⋅ b'

再按照 向量内积的性质：

|a|² = a ⋅ a

对等式两边求导，有：

2|a|' = (|a|²)’ = (a ⋅ a)' = a' ⋅ a + a ⋅ a' = 2 a ⋅ a'

得到：

|a|' = a ⋅ a'

使用上面的结论，有：

α ⋅ α' = |α|' = |r'(s)|' = 1' = 0

而我们清楚：

内积为 0 的 两个非零向量一定相互垂直

因为 a ⋅ b = |a||b| cos ∠ a b ，当 a ⊥ b 时 ∠ a b = π/2 + kπ ，于是 a ⋅ b = |a||b| cos(π/2 + kπ) = 0。

因为这个原因，得到：

α' ⊥ α，即，β ⊥ α

这说明，曲率方向一定垂直于 切线方向，于是 称 β 为 主法向量。

利用上面的曲线曲率概念，仅使用 高中所学的《剖析解读几何》的知识，我们可以有请看下方具体内容的一系列有关曲面的定义：

与 曲面 S 有且仅仅只有一点 p 重合的平面 T 称为 切面，p 称为 切点；

过切点 p 垂直于 切面 T 的直线 n，称为 法线；

以法线为轴 的 任意平面 N，都称为 一个 法截面；

法截面 N 和 曲面 S 的交线 m 称为 法截线；

将 法截线 m 的 曲率 称为 曲面 S 在 p 点 处 沿着 法截面 N 方向 的 主曲率，记为 κ_n。

由图就可以清楚的知道，主曲率 κ_n 描述了 曲面在 p 点 这个位置，法截面 N 这个方向 的 弯曲程度，不一样的位置和方向，曲面的弯曲程度时常不一样。

诚然，上面的这些定义很的粗糙，要搞了解 法曲率 的性质，我们需进一步分析。

仿照 上面 曲线的做法，我们可以将 曲面的参数方程（u, v ∈ R）：

改写为，二元向量函数 r: R² → R³，

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

这样以来，曲面 r (u, v) 就将 UV 平面 R² 中的点 (u, v) 映射为 XYZ 三维空间 R³ 中的点 r(u, v) = (x, y, z) ，同时 也会 任意 平面曲线：

w = (u(t), v(t))

映射为 空间曲线：

r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))，

而且这些空间曲线 r(t) 都拥有位于 曲面 r(u, v) 上。

和前面的 向量函数的导数运算类似，可以定义 二元向量函数的 偏导运算：

rᵤ(u, v) = (xᵤ(u, v), yᵤ(u, v), zᵤ(u, v))

rᵥ(u, v) = (xᵥ(u, v), yᵥ(u, v), zᵥ(u, v))

再按照，《高等数学》中的 二元函数链式求导法则：

f'(u, v) = fᵤ u' + fᵥ v'

有，

r’(t) = r'(u, v) = (x'(u, v), y'(u, v), z'(u, v)) = (xᵤu' + xᵥv', yᵤu' + yᵥv', zᵤu' + zᵥv') = (xᵤ, yᵤ, zᵤ)u' + (xᵥ, yᵥ, zᵥ)v' = rᵤu' + rᵥv'

即，

r’(t) = rᵤu'(t) + rᵥv'(t)

因为，曲线 S 上 任意一点 p 处，偏导向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 是确定的，于是 上式说明：

曲面内 任意 过 p 点的曲线 r(t) 在 p 点 处的 切线向量 r'(t)|p 是 偏导向量 rᵤ|p 和 rᵥ|p 的线性组合

进一步，只要保证 rᵤ|p 和 rᵥ|p 线性无关，则 过 p 点的 全部 曲面内曲线 在 该点处 的切向量 组成 一个 以 rᵤ|p， rᵥ|p 为基 的 二维 线性空间，称为 切空间，记为 Tp(S)。

切空间 Tp(S) 就上面定义中的 p点处的切面 T。

此外我们称，可以保证 任意一点 p 的 rᵤ 和 rᵥ 都 线性无关 的 具有三阶连续偏导 的 曲面 ，为 正则曲面。本回答，所讨论的曲面都是正则曲面。

这里说的 rᵤ 和 rᵥ 线性无关，就是 rᵤ 和 rᵥ 不平行，按照 向量外积的性质，有：

当 rᵤ // rᵥ 时，|rᵤ × rᵥ| = 0

因为|rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin ∠ rᵤ rᵥ 当 rᵤ // rᵥ 时 ∠ rᵤ rᵥ = kπ ，于是 |rᵤ × rᵥ| = |rᵤ| |rᵥ| sin(kπ) = 0。

于是 只要满足 |rᵤ × rᵥ| ≠ 0 就是可以保证 rᵤ 和 rᵥ 线性无关了。

在利用 向量外积的定义：

(rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵤ, (rᵤ × rᵥ) ⊥ rᵥ

我们，令，

n = rᵤ × rᵥ / |rᵤ × rᵥ|

单位向量 n 垂直于 切空间 内 全部 切向量，以此 就 垂直于 切面 T，于是 就 位于 法线 n 内，称 n 为 曲面 的 法向量。

考虑 任意 具有自然参数的 曲面内 曲线 r(s) = r(u(s), v(s))，有，

α = r'(s) = rᵤu'(s) + rᵥv'(s)

于是，

α' = (rᵤu'(s) + rᵥv'(s))' = (rᵤ)'u'(s) + rᵤu''(s) + (rᵥ)'v'(s) + rᵥv''(s) = (rᵤᵤu'(s) + rᵤᵥv'(s))u'(s) + rᵤu''(s) +(rᵥᵤu'(s) + rᵥᵥv'(s))v'(s) + rᵥv''(s) = rᵤᵤ(u'(s))² + rᵤᵥv'(s)u'(s) + rᵥᵤu'(s)v'(s) + rᵥᵥ(v'(s))² + rᵤu''(s) + rᵥv''(s)

再按照，《高等数学》中偏导性质，有：

rᵤᵥ = rᵥᵤ

后得到：

α' = rᵤᵤ(u'(s))² + 2rᵤᵥu'(s)v'(s) + rᵥᵥ(v'(s))² + rᵤu''(s) + rᵥv''(s)

再考虑，曲率 κ = |α'| 在法向量 n 上投影：

κ cos∠ α' n = κ 1 cos∠ α' n = |α'| |n| cos∠ α' n = α' ⋅ n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))² + rᵤ ⋅ nu''(s) + rᵥ ⋅ nv''(s)

因为 n ⊥ rᵤ, rᵥ 故此， rᵤ ⋅ n = rᵥ ⋅ n = 0，于是得到：

κcos∠ α' n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))²

和上面类似，针对确定 p 点来说，rᵤᵤ ⋅ n， rᵤᵥ ⋅ n， rᵥᵥ ⋅ n 都是确定的，因为这个原因 曲线 r(s) 曲率 在 法向量上的投影 只主要还是看 其，对应的 UV平面 曲线 w(s) = (u(s), v(s)) 的 导数 w'(s) = (u'(s), v'(s))，而 s 是自然参数，故此，|w'(s)| = 1，故，w'(s) 只表征 切线的方向，于是我们可以得出请看下方具体内容结论：

过 任意点 p 的 具有同一切线的 曲面内曲线 r(s) 在 p 点处的 曲率 在 法向量 上的 投影 一样。

按照前面的结论，法截线 m 的 曲率方向 β 垂直于 切线 l，而切线 l 又 与 法线 n 垂直，另外， 法截线 m 和 法线 n 都 处于法截面 N 内，因为这个原因 β // n ，这说明 m 的曲率 在 法向量 上 投影 就是 自己，同时也是 曲面 在 l 方向 的 主曲率 κ_n。又因为 任何 以 l 为切线的 曲面内曲线 的曲率 在 法向量 上 投影 都相当，故此， 这个投影 就是 主曲率 κ_n，即，

κ_n = κcos∠ α' n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))²

写成微分形式为：

κ_n = rᵤᵤ ⋅ n (u'(s))² + 2rᵤᵥ ⋅ nu'(s)v'(s) + rᵥᵥ ⋅ n(v'(s))² = L (du / ds)² + 2rᵤᵥ ⋅ n du/ds dv/ds + rᵥᵥ ⋅ n (dv/ds)² = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / ds²

另外一个方面，有，

1 = |α| = α⋅α = (rᵤu'(s) + rᵥv'(s)) ⋅ (rᵤu'(s) + rᵥv'(s)) = rᵤ⋅rᵤ(u'(s))² + 2rᵤ⋅rᵥu'(s)v'(s) + rᵥ⋅rᵥ(v'(s))² = rᵤ⋅rᵤ (du / ds)² + 2rᵤ⋅rᵥ du/ds dv/ds + rᵥ⋅rᵥ(dv/ds)² = (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²) / ds²

于是得到：

κ_n = (rᵤᵤ ⋅ n du² + 2rᵤᵥ ⋅ n dudv + rᵥᵥ ⋅ n dv²) / (rᵤ⋅rᵤ du² + 2rᵤ⋅rᵥ dudv + rᵥ⋅rᵥ dv²)

为了方便，令：

E = rᵤ⋅rᵤ, F = rᵤ⋅rᵥ, G = rᵥ⋅rᵥ, Ⅰ= Edu² + 2Fdudv + Gdv²

L = rᵤᵤ ⋅ n, M = rᵤᵥ ⋅ n, N = rᵥᵥ ⋅ n, Ⅱ = Ldu² + 2Mdudv + Ndv²

则后得到：

κ_n = Ⅱ/Ⅰ

这当中，Ⅰ 和 Ⅱ 是曲面的两种基本的二次微分形式，类似于一次微分形式：dr = rᵤdu + rᵥdv。

曲面上 p 点处 沿着不一样的切线方向 法曲率有很多不一样的地方，可以找出这当中的 大值 和 小值，我们 称为 主曲率，对应的切线方向称为 主方向。假设 p 点处 任意切线方向的 法曲率 都一样，则 称 p 点 为 脐点，脐点 的任意切线方向都是 主方向。

可以证明：曲面上任意一点的两个主方向总是相互垂直的，并且，设 κ₁，κ₂ 是主曲率 e₁, e₂ 是两个主方向的单位向量，则 任意切向量 e = e₁cosθ + e₂sinθ 方向的 法曲率为：

κ_n = κ₁cos²θ + κ₂sin²θ

这个也称为 欧拉公式。

利用欧拉公式，计算 法曲率 就是归结为 计算 主曲率，既然如此那， 如何计算 主曲率 呢？ 经过研究数学家发现，曲面的主曲率 κ₁，κ₂ 是一元二次方程：

ax² + bx + c = 0, a = EG - F², b = - (LG - 2MF + NE), c = LN - M²

的两个实数根。

可以验证 b² - 4ac ≥ 0，这说明 曲面的主曲率 总是存在。

按照韦达定理，有：

K = κ₁κ₂ = c/a = (LN - M²) / (EG - F²)

称 K 为 高斯曲率。

平面 的 高斯曲率 K 恒为 0，但 高斯曲率 K 恒为 0 的曲面 未必是 平面，比如：柱面。可以证明，高斯曲率 K 恒为 0 的曲面 都可以被 无缩放的 展开成 为 平面，称 为 可展曲面。

一个曲面内曲线的 r 曲率 κ 在 法向量 n 上的投影 法曲率 κ_n，和 曲线 r 无关，它反映的是 曲面 在 切向量 α 方向的 弯曲程度，既然如此那，问题来了，我们用什么表征 曲面内 曲线 r 的实质上 弯曲程度呢？聪明的条友估计已经想到了，既然如此那，就是 将 曲率 κ 在切平面 T 上进行投影，称为 测地曲率，记为 κ_g。

详细来说，因为 单位向量 α × n ∈ T，并且 α × n ⊥ α, n 故此， κ 切平面 T 的 投影，就是 κ 在 α × n 上的投影，于是我们得到测地曲率公式：

κ_g = α' ⋅ (α × n) = (n, α, α')

测地曲率横为零的曲面内曲线称为，测地线。测地线 在 UV 平面 中 是一条直线，因为这个原因 测地线 也被看曲面上的直线。球面的大圆（比如：赤道纬线，经线）就是测地线。

非欧几何的第五公设：

过直线外一点，有不等于 1 条直线和原直线平行。

中的 直线 就是指的 测地线。

在《平面几何》中有，外角和公式：

多边形外角之和 = 360°

故将他扩展到 曲面多边形，就是高斯博内特公式：

设，曲面中的曲边多边形 C 围成的区域是 D，外角是 α₁, α₂, ..., α_n，则有,

针对 平面 来说 K = 0，多边形的边是直线 κ_g = 0，这样 高斯博内特公式 就退化为 外角和公式。

设 直边三角形（边为测地线 κ_g = 0） 内角为 φ₁, φ₂，φ₃，按照 高斯博内特公式 有：

∫∫ ᴅ K dσ + (π - φ₁) + (π - φ₂) + (π - φ₃) = 2π

得到：

φ₁ + φ₂ + φ₃ = π + ∫∫ᴅ K dσ

平面 的 高斯曲率 K = 0，于是 三角形内角和等于 180°；

马鞍面 的 高斯曲率 K 0, 于是 三角形内角和小于 180°；

椭球面 的 高斯曲率 K 0, 于是 三角形内角和大于 180°；

这个结论，我们在 非欧几何的 科普文章中 经常看到。

至此，在《黎曼几何》以前的 有关 曲率的知识 就给各位考生讲解完了！这些知识，针对有志于了解非欧几何 是很重要的，更是 进入 非欧几何 的正确途径。

（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位考生批评指正！）

曲率 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表达曲线偏离直线的程度。 K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0时，定义K就是曲率。 曲率的倒数就是曲率半径。

高数曲率公式是k=|y|/(1+y²)^(3/2)。曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表达曲线偏离直线的程度。数学上表达曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表达曲线偏离直线的程度。针对曲线，它等于接近该点处曲线的圆弧的半径。 针对表面，曲率半径是合适正常截面或其组合的圆的半径。圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。故此，说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

曲率半径就是曲率的倒数.曲率计算公式请看下方具体内容函数形式：曲率k=y/[(1+(y)^2)^(3/2)],这当中y,y分别是函数y对x的一阶和二阶导数；参数形式：设曲线r(t) =(x(t),y(t)),曲率k=(xy - xy)/((x)^2 + (y)^2)^(3/2)

圆的曲率等于圆半径的倒数,即K=1/R。

为什么?是否有推测预计过程?

答：连续光滑曲线的曲率可以理解为：单位弧长的两个端点对应的法线的夹角,用公式表示为：K=Δθ/Δs；针对半径为R的圆,Δs=RΔθ,于是,K=1/R；直线可当成圆的特殊情形,即R→∞,这个时候K=0,即直线的曲率为零。

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表达曲线偏离直线的程度。

针对曲线，它等于接近该点处曲线的圆弧的半径。 针对表面，曲率半径是合适正常截面或其组合的圆的半径。

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。；ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|，证明请看下方具体内容：；1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆（Osculating circle）的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径大的（例如在椭圆长轴顶点处），也许是与曲线在该点相外切的圆中半径小的（例如在椭圆短轴顶点处），也许两者都不是。；2、例如针对直线上任一点，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，故此，直线的曲率半径为无穷大（对应于曲率为零，其实就是常说的“不弯曲”）。而在圆上，每一点的密切圆就是其本身，故其曲率半径为其本身的半径。抛物线顶点曲率半径为焦准距（顶点到焦点距离的两倍）。；针对y=f(x),曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f "| 。

在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 ，使以O为圆心，R为半径作圆，这个圆叫做曲线在点处的曲率圆。

曲率圆方程的表达式：(x-α)^2+(x-β)^2=R^2,这当中R是曲线y=f(x)在P(x0,y0)点处的曲率半径，圆心(α,β)称为曲线y=f(x)在P(x0,y0)点处的曲率中心，且α=x0-f'(x0){1+[f'(x0)]^2}/f''(x0),β=y0+{1+[f'(x0)]^2}/f''(x0).

记：R为曲率半径

以平面曲线作为例子。作一圆通过平面曲线上的某一点A和邻近的另外两点B1和B2，当B1和B2无限趋近于A点时，此圆的极限位置叫做曲线A点处的曲率圆。曲率圆的中心和半径分又称为曲线在A点的曲率中心（centre of curvature）和曲率半径（radias of curvature）。曲率半径愈小，表示曲线弯曲愈甚。