二阶微分方程的通解公式二阶导的通解公式

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x都是齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了全部满足这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是不是线性无关。

通解唯有一个，但是，表达形式可能不一样，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解，y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y+y-y=0的通解。

有关信息：

假设y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。

针对比较简单的情形，可以用观察法找特解。但针对比较复杂的情形就不太容易了。针对这个问题，下面针对f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方式（还未确定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。

举一个简单的例子：

y''+3y'+2y = 1 (1)

其对应的齐次方程的特点方程为：

s^2+3s+2=0 (2)

因式分 (s+1)(s+2)=0 (3)

两个根为： s1=-1 s2=-2 (4)

齐次方程的通

y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5)

非奇方程(1)的特

y* = 1/2 (6)

于是（1）的通解为：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7)

这当中：a、b由初始条件确定.

二阶微分方程的通解特解假设可按照实质上的情况设为y=C(x)e^mx，或 y=msinx+nsinx、 y=ax，这是属于比较常见且经常会用到的三个。针对一元函数来说，假设在该方程中产生因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其大多数情况下形式为F(x，y，y，y)=0

二阶微分方程的通解公式：y+py+qy=f(x)。这当中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的。

若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。

特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。

此题解法请看下方具体内容：

∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0

==dx-dy+(ydx+xdy)=0

==∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0

==x-y+xy=C (C是常数)

∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。

管束条件

微分方程的管束条件是指其解需满足的条件，依常微分方程及偏微分方程的不一样，有不一样的管束条件。

常微分方程常见的管束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这种类型管束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也许会指定函数在二个特定点的值，这个时候的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），除开这点，也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

一、解：

求特点方程r^2+P(x)r+Q(x)=0，解出两个特点根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数，

则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。

二、r是微分方程的特点值，它是通过方程r^2-2r+5=0来得出的。

故将他看成一元二次方程，判别式=4-20=-160,说明方程没有实数根，但是在复数范围内有根，根为： r1=1+2i r2=1-2i；

在复数领域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数；故此，这道题的两个特点值满足这一关系，故谓共轭复根。

第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。

第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。

第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。

拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y+py+qy=f（x）的微分方程，这当中p，q是实常数。 自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。

y''+a1y'+a2y=0，这当中a1、a2为实常数。

针对一元函数来说，假设在该方程中产生因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程，其大多数情况下形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有部分情况下，可以通过一定程度上的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来解答。

二阶非齐次微分方程的通解公式：y+py+qy=f(x)。这当中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。

特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答

二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式：y+py+qy=f(x)。这当中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，因为它扎根于各自不同的各样的实质上问题中，故此，继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都拥有十分广泛的应用。比较经常会用到的解答方式是还未确定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

1.二阶常系数齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式:y”+py’+qy=0,特点方程r2+pr+q=0

特点方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)