对数公式的运算法则，对数运算10个公式推论

对数公式的运算法则：

积、商、幂的对数运算法则：

假设a 0,a ≠ 1，M 0,N 0,有：

loga（MN）= logaM + logaN；

loga（M/N）= logaM - logaN；

logaMn = nlogaM（n∈R）。

其它重要公式：

扩展资料：

对数函数的图像：

对数经常会用到的三个特殊公式：

对数公式推导：log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)，loga(b)×logb(a)=1，loge(x)=ln(x)，lg(x)=log10(x)。

对数公式是数学中的一种常见公式，假设a^x=N(a0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。这当中a叫做对数的底，N叫做真数。一般以10为底的对数叫做经常会用到对数，以e为底的对数称为自然对数。

1、lnx+lny=lnxy；

2、lnx-lny=ln(x/y)；

3、Inxn=nlnx；

4、In(n√x)=lnx/n；

5、lne=1；

6、In1=0；

7、Iog(A*B*C)=logA+logB+logC；logAn=nlogA；

8、logaY =logbY/logbA；

9、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

10、Iog(A)M=log(b)M/log(b)A(b0Eb#1)。

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)；

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因为a^b=a^b

令t=a^b

故此，a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

两种方式只是性质不一样,采取方式依实质上情况而定

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、与（3）类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、与（3）类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导请看下方具体内容：

由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b

由指数和对数的相互转化关系可得出:

1.两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

2.两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差，即

3一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂的指数，即

4.若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根指数，即

扩展资料：

对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x0}，但假设碰见对数型复合函数的定义域的解答，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x0且x≠1和2x-10 ，得到x1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x1/2且x≠1}

在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，假设有根号，要求真数大于零还需要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。

在一个普通对数式里 a0，或=1 时是会有对应b的值。但是按照对数定义：log以a为底a的对数；假设a=1或=0既然如此那，log以a为底a的对数完全就能够等于一真真切切数。（例如log11也可等于2，3，4，5，等等）

假设不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数

logaMN=logaM+logaN

[证明]

alogaMN=MN

alogaMN=alogaM×alogaN

alogaMN=alogaM+logaN

证得 logaMN=logaM+logaN

二、logaMN=logaM−logaN

这个证明过程同上，自行尝试。

三、logaMn=nlogaM

[证明]

alogaMn=Mn

alogaMn=(alogaM)n

a^y=x↔y=log(a)(x)[公式表示y=log以a为底x的对数，a是底数，x是真数。另外a大于0，a不等于1，x大于0]。实质上计算途中指数和对数的转换，利用指数或者是对数函数的枯燥乏味性，这样完全就能够比较出来对数式或者是指数式...

对数的运算法则：

1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N

2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

3、log(a) M^n=nlog(a) M

4、log(a)b*log(b)a=1



1对数的概念

假设a(a0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,既然如此那，数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,这当中a叫做对数的底数,N叫做真数.

由定义知：

（1）负数和零没有对数；

（2）a0且a≠1,N0；

（3）loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

非常地,以10为底的对数叫经常会用到对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

3对数的运算性质

假设a0,a≠1,M0,N0,既然如此那，

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN.

(3)logaMn=nlogaM (n∈R).

问：（1）公式中为什么要加条件a0,a≠1,M0,N0?

（2）logaan=? (n∈R)

（3）对数式与指数式的比较.(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数

b—

N—a—对数的底数

b—

N—运

算

性

质am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a0,a≠1,M0,N0)

难点疑点突破

对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?

理由请看下方具体内容：

（1）若a＜0,则N的某些值不存在,比如log-28

（2）若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数

（3）若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数

为了不要上面说的各自不同的情况,故此，规定对数式的底是一个不等于1的正数

解题方法和技巧技巧

1

(1)将下方罗列出来的指数式写成对数式：

（1）54=625；（2）2-6=164；（3）3x=27；（4）13m=573.

（2）将下方罗列出来的对数式写成指数式：

（1）log1216=-4；（2）log2128=7；

（3）log327=x；（4）lg0.01=-2；

（5）ln10=2.303；（6）lgπ=k.

剖析解读由对数定义：ab=NlogaN=b.

解答(1)（1）log5625=4.（2）log2164=-6.

（3）log327=x.（4）log135.73=m.

解题方法和技巧

指数式与对数式的互化,一定要并且只要能紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b.(2)（1）12-4=16.（2）27=128.（3）3x=27.

（4）10-2=0.01.（5）e2.303=10.（6）10k=π.

2

按照下方罗列出来的条件分别求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.

剖析解读(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?

(2)log5x=20=1. x=?

(3)31+log32=3×3log32=?27=x?

(4)2+3=x-1=1x. x=?

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

(2)log5x=20=1,x=51=5.

(3)logx27=3×3log32=3×2=6,

∴x6=27=33=(3)6,故x=3.

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

答题技巧和方法

（1）转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在处理相关问题时,常常进行着两种形式的相互转化.

（2）熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.

剖析解读思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将会针对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；

思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1.

答题技巧和方法

有的时候，对数运算比指数运算来得方便,因为这个原因以指数形式产生的式子,可利用取对数的方式,把指数运算转化为对数运算.4

设x,y都是正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.

剖析解读一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x由等式都拥有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,以此lg(xy)也是x的函数.因为这个原因求lg(xy)的取值范围其实是一个求函数值域的问题,怎样才可以建立这样的函数关系呢?能不能对已知的等式两边也取对数?

解答∵x0,y0,x·y1+lgx=1,

两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).

令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).

∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.

解题规律

对一个等式两边取对数是处理含有指数式和对数式问题的经常会用到的有效方式；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得有关t的方程t2-St-S=0有实数解.

∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).

5

求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；

(2)2log32-log3329+log38-52log53；

(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值；

(4)求7lg20·12lg0.7的值.

剖析解读(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.

(2)转化为log32的关系式.

(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b当中的关系,能不能从中得出ab的值呢?

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积,且指数含经常会用到对数,

设x=7lg20·12lg0.7能不能先得出lgx,再求x?

解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.

(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7.

(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0),

∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.

∴ab=1或ab=4,这里a0,b0.

若ab=1,则a-2b0,a≠1,c0,c≠1,N0)；

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1logba(b0,b≠1)；

(4)loganbm=mnlogab.

剖析解读(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数得出b就可能得证.

(2)中logbc能不能也换成以a为底的对数.

(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.

(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.

解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,

∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.

(2)由(1)logbc=logaclogab.

故此， logab·logbc=logab·logaclogab=logac.

(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.

解题规律

(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中常常应用.针对对数的换底公式,既要擅长于正用,也要擅长于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab.

7

已知log67=a,3b=4,求log127.

剖析解读依题意a,b是常数,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能不能将log127转化为以6为底的对数,进一步转化为以3为底呢?

解答已知log67=a,log34=b,

∴log127=log67log612=a1+log62.

又log62=log32log36=log321+log32,

由log34=b,得2log32=b.

∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.

∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.

答题技巧和方法

利用已知条件求对数的值,大多数情况下运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是经常会用到的方式技巧8

已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.

(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p接近的整数值；

(3)求证：12y=1z-1x.

剖析解读已知条件中给出了指数幂的连等式,能不能引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,针对指数式能不能用对数的方式去解答?

解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,

∴p=log316.

解法二设3x=4y=m,取对数得：

x·lg3=lgm,ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.

由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.

(2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式,想：能不能将真数中的一次式也转化为二次,进一步应用a2+b2=7ab?

解答logma+b3=logm(a+b3)212=

答题技巧和方法

（1）将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

（2）应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式,以方便应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.

∵a2+b2=7ab,

∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),

即logma+b3=12(logma+logmb).

对数函数没有乘法法则。对数运算法则有三条。同底对数相加，相减及幂的对数。但有部分对数相乘也可用换底公式进行运算。就是以a为底b的对数与以b为底a的对数相乘等于1。

log的乘法大多数情况下都用换底公式来处理：

log(a)b=log(s)b/log(s)a（括号里的是底数）。

比如：log(2)3*log(3)4=log(2)3*log(2)4/log(2)3=log(2)4=2。

log(a)b=log(s)b/log(s)a（括号里的是底数）的推导过程：

设log(s)b=M,log(s)a =N,log(a)b=R

则s^M=b,s^N=a,a^R=b

即(s^N)^R=a^R=b

s^(NR)=b

故此，M=NR,即R=M/N,log(a)b=log(s)b/log(s)a。

扩展资料：

对数的加减乘除运算规则：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

当a0且a≠1时,m0,n0，既然如此那，：

（1）log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n)；

（2）log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n)；

（3）log(a)(m^n)=nlog(a)(m)（n∈r）

（4）换底公式：log(a)m=log(b)m/log(b)a(b0且b≠1）

(5)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)证明：

设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(6)对数恒等式：a^log（a)n=n；

log（a）a^b=b

（7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)m^(1/n)=(1/n)log(a)m,log(a)m^(-1/n)=(-1/n)log(a)m

2.log(a)m^(m/n)=(m/n)log(a)m,log(a)m^(-m/n)=(-m/n)log(a)m

3.log(a^n)m^n=log(a)m,log(a^n)m^m=(m/n)log(a)m

4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的m为真数)=log(a)m,

log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的m为真数)=(m/n)log(a)m

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

对数与指数当中的关系

当a0且a≠1时,a^x=nx=㏒(a)n

log函数运算公式是y=logax（a0a≠1）

log函数运算公式是y=logax（a0a≠1）。

对数公式是数学中的一种常见公式，假设a^x=N(a0，且a≠1)，则x叫作以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。这当中a叫作对数的底，N叫作真数。一般我们以10为底的对数叫作经常会用到对数，以e为底的对数称为自然对数。

假设a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N，既然如此那，数b叫作以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，这当中a叫作对数的底数，N叫作真数.大多数情况下地，函数y=log(a)X,(这当中a是常数，a0且a不等于1)叫作对数函数 它其实就是指数函数的反函数。

正如除法是乘法的倒数反之亦然， 这算是一个数字的对数是一定要出现另一个固定数字（基数）的指数，在简单的情况下乘数中的对数计数因子，更大多数情况下来说乘幂允许将任何正实数提升到任何实质上功率，总是出现正的结果因为这个原因可以针对b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

补充

1、对数公式是数学中的一种常见公式。

2、假设a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N。

3、log中文意思就是对数，在数学中对数是对求幂的逆运算。

换底公式

logMN=logaM/logaN

换底公式导出

logMN=-logNM

推导公式

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

loge(x)=ln(x)

lg(x)=log10(x)

log表示对数函数。大多数情况下地，函数y=log(a)X，（这当中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数。



对数函数的经常会用到简略表达方法

（1）log(a)(b^n)=nlog(a)(b)(a为底数）(n属于R)

（2）lg(b)=log(10)(b)（10为底数）

（3）ln(b)=log(e)(b)（e为底数）

对数函数的运算性质

大多数情况下地，假设a（a0，且a≠1）的b次幂等于N，既然如此那，数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b，这当中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数化简问题，底数则要0且≠1真数0

并且，在比较两个函数值时：

假设底数一样，真数越大，函数值越大。（a1时）

假设底数一样，真数越大，函数值越小。（0

对数函数

大多数情况下地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。大多数情况下地，函数y=logaX（a0，且a≠1）叫做对数函数，其实就是常说的说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。这当中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x0。它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数。

指数函数

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。大多数情况下地，y=a^x函数(a为常数且以a0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。

二者关系

同底的对数函数与指数函数互为反函数。

当a0且a≠1时，ax=Nx=㏒aN。

有关y=x对称。

对数函数的大多数情况下形式为y=㏒ax，它其实就是指数函数的反函数（图象有关直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定（a0且a≠1），因为这个原因针对不一样大小a所表示的函数图形：有关X轴对称、当a1时，a越大，图像越靠近x轴、当0

对数函数的图形只不过是指数函数的图形的有关直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

当a0且a≠1时,M0,N0,既然如此那，：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)；

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b≠1）

(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：

设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(6)对数恒等式：a^log（a)N=N；

log（a）a^b=b

（7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M ,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M ,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M ,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(m/n)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

对数与指数当中的关系

当a0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N