幂级数如何求和函数，同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则

求幂级数的和函数的方式，一般是：

1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；

2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要大家特别注意的是：运用定积分时，要非常注意积分的下限，不然将一定出错。

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。

从级数的收敛概念就可以清楚的知道，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因为这个原因可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛=任意给定正数ε，必有自然数N，当nN，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

幂级数它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（未必涵盖端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。比如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

幂的乘方式则公式：

（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

am×an=a（m+n）(a≠0,m,n都是正整数，并且mn)

（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n都是正整数，并且mn)

（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a^m)^n=a^(mn)，(m,n都为正整数)

（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)^n=a^nb^n，（n为正整数）

（5）零指数：

a0=1 (a≠0)

（6）负整数指数幂

a-p=1/ap(a≠0, p是正整数）

（7）负实数指数幂

a^(-p)=1/(a)^p或（1/a）^p(a≠0，p为正实数）

（8）正整数指数幂

（1）aman=am+n

（2）（am）n=amn

（3）am/an=am-n(m大于n,a≠0)

（4）(ab)n=anbn

（9）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果

(a/b)^n=(a^n)/(b^n)，（n为正整数）



1)法则使用的前提条件是：幂的底数一样而且，是相乘时，底数a可以是一个详细的数字式字母，也可是一个单项或多项式；

2) 指数是1时，不要误以为没有指数；

3)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数一样指数完全就能够相加；而针对加法，不仅底数一样，还需要求指数一样才可以相加。

对无穷幂级数：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

=∑x^k/k!=(k=0,1,2,……)，令x=1得：

e=∑1/k!(k=0,1,2,……)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+……

如取前面的这5个得近似值e≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.71

级数就是无穷个数相加，分为数项级数和函数项级数，在高数里应该有，大二可能会学 几何级数是指幂的形式，1的平方 2的平方 3的平方 这样的情况 算术级数是指倍数形式，1 2 4 8 16 这样的 两都的区别在于几何级数的增长率曲线很陡，算术的很平缓 加绝对值，得Σ1/n^pp1收敛，这个时候原级数为绝对收敛B,C错0 追 0p1时绝对值的式子为什么发散啊？分母也是在增大，整个式子趋于零，不是收敛嘛？

a＋a^2+a^3＋…＋a^n＝a（a^n-1）/a-1。这当中a＞1。上面说的公式是把递增数列默认为，以a为首项，公比为a的等比数列，按等比数列求和公式求得。数列2，4，8，16，32，64。求其和，按公式代入得，2×（2^6-1）/2-1=126。

又如3，9，27，81，243。由求和公式得3（3^5-1）/3-1=363。假设问题改变一下，求1的平方，2的平方，3旳平方，等等一直到n旳平方和，解答就比较困难了。

常见的幂级数求和公式有：n（n+1）到（n+m-1)x的n次方的累加（从1到n）等于1-x的m+1次方分之n的阶层乘以x，定义域为绝对值x小于1。

幂级数是数学分析当中重要概念之一是指在级数的每一项都是与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0启动计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等很多领域当中。

问题中的级数为等比级数，公比为x，按照等比数列的求和公式，x的n-1次方级数前n项和为：

(1-xⁿ)/(1-x)