马考勒久期公式推导，久期缺口计算公式推导

Macaulay久期就是从现目前时刻至到期日当中全部现金流流入的加权平均时间间隔。

债券价格B=∑Ci·e^(-y·Ti)

这当中Ci表示各付息日Ti的现金流入 y表示连续复利计算的到期收益率

将B对y求导并除以B取负号就得到了麦考利久期

D=-dB/dy·1/B=∑[Ci·e^(-y·Ti)]·Ti/B

当收益率有一微小的变化△y时

B（y）在y.处一阶泰勒展开为B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y

则△B/B=dB/dy·1/B·△y

由D=-dB/dy·1/B得△B/B=-D·△y

当△y很大时，需对B（y）在y.处二阶泰勒展开：

B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y+1/2·d²B/dy²·(△y)²

△B/B=dB/dy·1/B·△y+1/2·1/B·d²B/dy²·(△y)²

凸度C=1/B·d²B/dy²

代入得到△B/B=-D·△y+1/2·C·(△y)²

久期缺口=总资产久期-资产负债率X总负债久期，

当久期缺口为正，银行净值价格随利率上升而下降，随利率下降而上升；

当久期缺口为负，银行净值价值随市场利率变化而同方向变化。

当缺口为零时，银行净值的市场价值不受利率风险影响。

是由到期收益率的定义推导出来的。到期收益率公式清楚吧，等式两边分别对到期收益率y求导，再在等式两边同除以价格p，就故将他中一些定义为D久期。久期是一种测算债券出现现金流的平均期限的方式，可以用于测度债券对利率变化的敏感性。弗雷得里克.麦考利按照债券的每一次息票利息和本金支付时间的加权平均来计算久期，称为麦考利久期(MACAULAY'SDURATION)。详细的计算将每一次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流时间同对应的权重相乘,后合计出整个债券的久期。久期是固定收入资产组合管理的重点概念有以下哪些因素：

1、它是对资产组合实质上平均期限的一个简单概括统计。

2、它被看做是资产组合免疫与利率风险的重要工具。

3、是资产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产针对利率波动的敏感性完全一样。到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的重点原因，与久期存在以下的关系：1、零息票债券的久期等于到它的到期时间。2、到期日不变,债券的久期随息票据利率的降低而延长。3、息票据利率不变,债券的久期随到期时间的增多而增多。

4、其他原因不变,债券的到期收益率很低时,息票债券的久期较长。麦考利久期定理：有关麦考利久期与债券的期限当中的关系存在以下6个定理：定理1：唯有贴现债券的麦考利久期等于它们的到期时间。定理2：直接债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。唯有仅剩后一期就要期满的直接债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1。定理3：统一公债的麦考利久期等于（1+1/r），这当中r是计算现值采取的贴现率。定理4：在到期时间一样的条件下，息票率越高，久期越短。定理5：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期大多数情况下也越长。定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

久期也称持续期是1938年由F.R.Macaulay提出的。它是以未来时间出现的现金流，根据现在的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以目前距离该笔现金流出现时间点时间年限，然后进行求和，以这个总和除以债券各期现金流折现之和得到的数值就是久期。概括来说，就是债券各期现金流支付所需时间的加权平均值。金融概念上也可说是，加权现金流与未加权现金流之比。

久期，全称麦考利久期－Macaulay duration，数学定义

假设市场利率是Y，现金流（X1,X2,...,Xn）的麦考利久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]

即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx

这当中，PVXi表示第i期现金流的现值，D表示久期。

久期=加权现金流/未加权现金流。久期也称持续期，它是以未来时间出现的现金流，根据现在的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以目前距离该笔现金流出现时间点时间年限，然后进行求和，以这个总和除以债券价格得到的数值就是久期。概括来说，就是债券各期现金流支付所需时间的加权平均值。

久期是考虑了债券现金流现值的原因后测算的债券实质上到期日，价格与收益率当中是一个非线性关系。但是，在价格变化不大时，这个非线性关系可以近似地看成一个线性关系。其实就是常说的说，价格与收益率的变化幅度是成反比的。针对不一样的债券，在不一样的日期，这个反比的比率是不一样的。

　　久期计算公式是什么？

　　假设市场利率是Y，现金流（X1,X2,...,Xn）的麦考利久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]，即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx。这当中，PVXi表示第i期现金流的现值，D表示久期。因为这个原因久期是一种测度债券出现现金流的平均期限的方式。

　　因为债券价格敏感性会随着到期时间的增长而增多，久期也可以用来测度债券对利率变化的敏感性，按照债券的每一次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期。值得注意的是，久期现在是世界上运用广的债券计算方法，因而它也有一部分有关的定理：

　　【1】唯有零息债券的马考勒久期等于它们的到期时间。

　　【2】直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。

　　【3】统一公债的马考勒久期等于（1+1/y），这当中y是计算现值采取的贴现率。

　　【4】在到期时间一样的条件下，息票率越高，久期越短。

　　【5】在息票率不变的条件下，到期时间越久，久期大多数情况下也越长。

　　【6】在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

　　综合上面所说得出所述，那就是久期相关的计算方法及其有关定理。