abcd的并集公式，21世纪外国数学家排名?

集合的运算： 1.交换律 A∩B=B∩A A∪B=B∪A 2.结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 3.分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 2德.摩根律 Cs(A∩B)=CsA∪CsB Cs(A∪B)=CsA∩CsB 3“容斥原理” 在研究集合时，会碰见相关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。比如A={a,b,c}，则card(A)=3 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 1985年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的经常会用到方法。 吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A 求补律 A∪CsA=S A∩CsA=Φ

1、艾伦·图灵

艾伦·图灵不单单是一位伟大的数学家，在人工智能、逻辑学、计算机等多个领域都拥有着很大的奉献。

2、莱昂哈德·欧拉

欧拉于1707年出生于瑞士是一位很著名的数学家，也是该领域多产的一位人物，每一年先关的论文就有800多页，在几何学、变分法、积分学、微分学等方面都拥有代表性的著作。

3、希帕提娅

希帕提娅出生于古埃及，被大家称作是古代世界优秀、聪慧的女性，也是世界上早的一位女数学家，在天文学和哲学领域也是有着很大成就的。

4、康托尔

康托尔毕业于苏黎世大学，从小就对数学有着极高的兴趣，特别是数学哲学问题的研究，集合论和超穷数理论的建立也是因为这个原因夯实了他在数学领域不可撼动的地位。

牛顿

第五名：牛顿

严格说，牛顿实际上是一名物理学家，假设单论物理学上获取的成就，我想数一数二是毫无悬念的，但不少人不清楚的是，实际上牛顿也是一位大名鼎鼎的数学家。

在牛顿早期，牛顿痴迷于物理研究，但到高端阶段，碰见了无法提升的尴尬境地问题，那就是数学知识不过关，致使不少计算没办法进行，严重阻碍了物理的研究。

因为这个原因牛顿中断了物理研究，改行研究数学，提出了微积分等概念，他的工作逐步递次推动了数学的每一个分支，当数学研究到一定高度后，又慢慢启动研究物理，后获取了不错的成就。



黎曼

第四名：黎曼

黎曼出生在德国一个贫穷的家庭，后却成为了一名影响力巨大的数学家。他在微分几何、数论和分析数学方面都做了巨大奉献。

相信这位大神的名字不少人都听过，非常是学历越高的人，对他的公式了解更多，例如黎曼几何、黎曼曲面、黎曼积分等内容。

就算放在目前，不少学生看别人的成果和公式都一头雾水，更别说发明这些公式的人了，绝对的大神级别人物。



阿基米德

第三名：阿基米德

相信广大首次听说这个名字，多半是两个地方，第一个是初二物理考试教材，他洗澡悟出了浮力公式。第二个则是名言：假设给我一个杠杆，我可以撬起地球。

阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理，给出不少求几何图形重心的方式。

阿基米德发明的机械有引水用的水螺旋，能牵动满载大船的杠杆滑轮机械，说明日食、月食、月食情况。

唯一可惜的是，他觉得机械发明比纯数学低级，因为这个原因没有写这方面的著作，阿基米德还采取持续性分割法求椭球体等的体积，这样的方式已具有积分计算的雏形。



高斯

第二名：高斯

不少人首次听说高斯，估计都是小学计算1到100的连加，数学老师讲解高斯用的简单方便方式，再后来，不少人清楚高斯还会用直尺和圆规画出正十七边形。

但是，高斯在数学上的成果远不止这些，他被不少内行人称之为“数学家之王”，在地球物理学、微分几何、光学、静电、天文学都拥有很大的奉献。

除开这个因素不说，他还在代数、数论、分析、统计学方面留下了自己的影子，算得上是一个数学全才，在数学界一直被世人尊重和崇拜。



欧拉

第一名：欧拉

假设说还有人能胜过高斯一筹，我想只可以搬出欧拉大神了，这位大神究竟有多厉害，相信不少朋友还不知道，下面简单讲解一下他的成就。

发明了以下符号：f（x）、sin、cos，tan。

花费三天找出计算彗星轨道方式。然后，不幸的事，右眼失明。

出版音乐著作，新学科：空气动力学、流体动力学。

一生写出几百篇论文，新学科：刚体力学、分析力学。

他的论文产量高居历史第二，但质量却远远高于第一的那位，故此，不少人都公觉得他才是数学界的第一。

更神奇地是，欧拉76岁弯腰去捡烟斗时，突然说了一句，我要死了，然后就倒地身亡，再也没有起来。

这几位天才数学家是人类的期望是他们将人类的科技推动前进了一大步，我们今天享受的不少科技成果，不少都要归功于他们在数学方面的奉献

答：P（A）在数学中的定义是可能性的意思。下面这些内容就是可能性的有关定义：

大多数情况下地，针对一个随机事件A，我们把刻画其出现概率大小的数值，称为随机事件A出现的可能性，记为P（A）。

应用技巧：某一随机情况进行了n次试验与观察，这当中A事件产生了m次，即其产生的频率为m/n。经过非常多反考研复试验，时常伴有m/n越来越接近于某个确定的常数该常数即为事件A产生的可能性。

可能性的计算公式：

离散数学中P(A)是幂集，P(A)就是求A的幂集。

比如：集合A={1,2,3}的幂集。

P(A)=｛Φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}｝,这当中Φ表示空集。

幂集是集合的基本运算之一。由集合的全部子集构成的集合。对任何集合a，a的幂集P(a)={x|x⊆a}。在ZFC公理系统中，幂集公理保证任何集合的幂集都是集合。如P({a，b})={∅，{a}，{b}，{a，b}}.P(·)称为幂集运算。

扩展资料：

可数集是小的无限集； 它的幂集和实数集一一对应（也称同势）是不可数集。

不是全部不可数集都和实数集等势，集合的势可以无限的大。认真数集的幂集也是不可数集，但它的势比实数集大。 设X是一个有限集，|X| = k，则X的幂集的势为2的k次方。

康托第一个仔细研究了无限集合， 分清了可数集和不可数集的区别， 并用对角线法证明了实数集不是可数集。除开这点康托指出了幂集的势总是严格大于原集合。由此结论致使了康托猜想（即连续统假设）和康托悖论。

解: 数学中P（A）是指某种条件下,事件A出现的可能性 .

四元数：150年后在计算机时代盛开

1843年10月16日，爱尔兰数学家汉密尔顿爵士（William Hamilton）在散步时，突然想到了ｉ²＝ｊ²＝ｋ²＝ｉｊｋ＝－1　的方程解，并且创造了形如 a＋bｉ＋cｊ＋dｋ 的四元数（a为标量，［bｉ + cｊ + dｋ］为矢量）。为了捕捉这一思想火花，汉密尔顿爵士顾不可以保护文物，将方程刻在了正好经过的布鲁穆桥上。

这条方程放弃了交换律是当时一个极端的想法（那时还是没有发展出矢量和矩阵）。四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间，四元数就代表着一个四维空间。汉密尔顿爵士本来已经在研究如何把复数应用于三维空间，但桥上的灵光一现，直接把研究扩展到了四维上去。

四元数有着漂亮的数学形式，还适用于地理学、力学和光学的研究。后面时间里，汉密尔顿爵士把大多数精力都用于推广四元数的概念。他死后，接力棒传到了爱丁堡大学自然哲学教授皮特·格恩里·泰特手中。

著名物理学家威廉·汤姆逊（也称“开尔文男爵”，热力学温标单位开尔文便以他的名字命名）曾经说过，：我和泰特为四元数争了38年。两人合著《自然哲学论》（ Treatise on Natural Philosophy ）时，曾决定在必要时引入四元数的概念，但从后手稿来看，“必要时”一直不曾产生。

19世纪末，向量微积分的产生更是抢走了四元数的光芒。在20世纪中叶的科学和工程界中，矢量基本上已完全取代四元数的位置。麦克斯韦曾在他的《电磁场动力理论》直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场当中的关系。

某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表达，但与后来黑维塞使用4条以矢量为基础的麦克斯韦方程组表达相比较，使用四元数的表达并没有流行起来。大家觉得四元数空有漂亮的数学结构，没啥实质上用途，不过是数学史上又一个无足轻重的脚注罢了。

到了计算机时代，四元数终于找到了自己的位置。在三维几何旋转的计算中比矩阵更有优势，在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域都是非常重要的工具。

150年后面，汉密尔顿爵士他们的研究终于得到了世人认可。自己种下的理论滋养了全球数以千亿计的计算机产业，爵爷若地下有知，也应该感到欣慰了。

密堆积：3个世纪后在信道中相遇

假设在你面前放着一堆橙子，怎么摆放才可以节约空间？

别以为这只是困扰水果店老板的平日烦恼之一。虽然任何人都可以凭经验或直觉断定，把上一层橙子交错着放到下一层橙子彼此相邻的凹处，明显要比直接一个叠一个的摆放更合理。但谁能从数学上证明，的确不存在比这更合理的方式呢？

1611年，开普勒提出，水果商堆橙子的办法对空间的利用率高，可他自己却没法给出证明。在400多年时间里，“开普勒猜想”（Kepler's Conjecture）难倒了很多数学家。直到1940年，匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯才处理了开普勒猜想的简化版-圆环堆积问题。

1998年，一条数学新闻突然成了各大媒体报道的焦点：美国匹兹堡大学的托马斯·海尔斯（Thomas C. Hales）证明了“开普勒猜想”：在箱子里堆放大小一样的球，用“面心立方体”的堆积方法（即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处）可以使空间利用率高。其实就是常说的说，水果商在箱子里装橙子的办法一直都是效果是好的。

海尔斯解答了这个提出了400余年的难题，但水果商依然不会买账。一位水果摊小贩在接受电视台采访时说：“这简直是浪费时间又浪费我们纳税人的钱！”

不过，开普勒和海尔斯的智慧结晶当然不只是用来装橙子这么简单-相关密堆积的研究成果是现代通讯技术的重要工具是信道编码和纠错编码研究的核心内容。

同样也是在17世纪，牛顿和大卫·格里高里因“牛顿数问题”争来争去。牛顿数，“Kissing Number”是与一个ｎ维球外切的等维球的个数。比较容易看出，二维的牛顿数是6（上图左）。牛顿确信三维的牛顿数是12，直到1953年，科特·舒特和范·德·维尔登才给出了一个证明。

，奥莱格·穆辛证明了4维的牛顿数是24。至于5维的牛顿数，现在只清楚它在40到44当中。不过，我们清楚8维的牛顿数是240，24维的牛顿数是196560，这两个数都是美国明尼苏达大学的安德鲁·奥德里兹克在1979年证明的。8维和24维的牛顿数证明起来实际上比三维的牛顿数简单，它们还跟超密集的球体填充问题相关：8维E8点阵和24维Leech点阵。

这些发现令人惊奇，不过让普通人一头雾水的概念有哪些实质上意义？ 听我说。

20世纪60年代，一位叫戈登·朗的工程师已经在设计调制解调器系统。他需从一个繁忙的栏目（比如一个电话号码线）发出一个信号，信号由一系列的音调组成。但是因为一个栏目传递的信号过多，常常产生信号没办法被完整接收的情况。朗将组成信号的声音用一串数字表示，信号就可以被当作一个个包含信息的“小球”，为了使发送的信息量达到大化，这些“小球”一定要被尽量紧密的排列起来。

20世纪70年代晚期，朗发明了采取E8堆积法传递8维信号的调制解调器。因为这项技术可以通过电话号码线进行信号传播，没有必要重新设计信号电缆，因为这个原因大大提高了网络的发展。

可能性论：从赌桌上的硬道理到保险业的发展

文艺复兴时期，意大利产生了一位大学者，卡尔达诺（Girilamo Cardano），他精通数学、物理、占星，在当时被称作百科全书式的学者。卡尔达诺嗜赌，但赌术却依然不会高明，在赌桌上输掉了大把的家产。不过，他由此写下《论游戏》一书。此书于1663年出版，被觉得是第一部可能性论专著，开创了现代可能性论研究的先河，也为今天的精算学做了铺垫。

一个世纪后面，法国赌徒梅内（Chevalier de Méré）碰见了难题。他常玩的两个游戏，一个是连续掷4次色子，看能不能扔出一个6；一个是掷两个色子，连续24次，看能不能扔出2个色子都是6的情况。梅内以为两者赢钱的可能性相等，不过实质上情况却与他想的明显不同。玩第一个游戏他赢多输少，第二个游戏反而输多赢少。

梅内向朋友，数学家帕斯卡求助，帕斯卡随后在1654年和费马在信件往来中探讨了这个问题，为可能性论的发展打下了基础。1657年，荷兰人惠更斯发表了《论中的计算》，这也是第一部公开发表的可能性论著作。

17世纪晚期，雅各布·伯努利发现，随机掷一次色子，每个数字产生的可能性都是1/6，但连续掷6次色子依然不会能保证每个数字都产生。在卡尔达诺研究的基础上，他提出了伯努利实验。ｎ重伯努利试验（也称伯努利概型）经常会用到来讨论ｎ次重考研复试验中某事件出现的次数及其可能性。因为样本点未必是等可能性的，不少实质上问题都可归结为这样的模型。

更加重要的是，伯努利还提出了大数定律，指在一个随机事件中，随着试验次数的增多，事件出现的频率越趋近于一个稳定值。这个定律甚至促进了保险业的发展。

过去，保险公司只敢卖出有限的保单，因为卖出的保单越多，赔付的风险看上去就越高，保险公司担心卖出过多的保单会使公司不堪重负而垮掉。直到18世纪初，保险公司才启动像目前一样大肆推销保险。这都多亏伯努利的大数定理证明：保单卖得越多，赔付的可能性就越趋于稳定，风险是可控的。

这样的情况还有不少不少，故此，有的时候，候大家常常问，证明某个猜想例如哥德巴赫猜想，黎曼猜想真的既然如此那，重要吗？事实上这个猜想本身也许不重要，但是在证明这个猜想的途中数学理论的进步，数学工具的发现，也许在以后的某日会对这个社会的发展有着巨大的推动作用。

一个数学大王的重要发现，用孪生素数证明哥德巴赫猜想成立。

常常用了

9月12日 · 单县红十字会会员 军事领域创作者

陈景润的哥德巴赫猜想固然历害。你想看到一个比陈景运更历害的哥德巴赫猜想吗。欧拉复信哥德巴赫，任何一个大于2的偶数都可以表为两个素数的和，我虽然不可以证明它，但我确信它是确定无疑的定理。那就是著明的哥德巴赫猜想。在世界数学历史的長河中，针对无限的概念就是从理论上来证明是无限的被觉得是终极和完成的。比如，哥德巴赫猜想，现目前已经计算到人类现己应用的大数是成立的，但也还是觉得是不行的。除开这点，还有黎曼猜想，费马大定理。。。，而不可以进入本质性的应用。在这里要说的是，素数之故此，被称为自然数的基石是因为用素数的和，可以组成一切自然数。亲爱的读者，当你看了下面的论文后，对我以上所说有哪些感想呢。

一个数学大王与数学牛人重要发现

用孪生素数证明哥德巴赫猜想成立

作者： 晨 静

（引入原文）孪生素数公式

什么是孪生素数，孪生质数有一个十分精确的普遍公式是按照一个定理：“若自然数Q与Q+2都不可以被不大于根号Q+2的任何质数整除，则Q与Q+2是一对质数，称为相差2的孪生质数。这一句话可以用公式表达：Q=p1m1+a1=p2m2+a2=....=pkmk+ak这当中p1，p2，...，pk表示顺序质数2，3，5，....。an≠0，an≠pn-2。若QP(k+1)的平方减2，则Q与Q+2是一对孪生质数。比如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生质数。 故此只要按着公式计算，理论上有无限多个孪生素数。

在这里，第一要对孪生素数作出新的定义，而不是（若自然数Q与Q+2都不可以被不大于根号Q+2的任何质数整除，则Q与Q+2是一对质数，称为相差2的孪生质数。）则是沿用我们国内古代的《奇门遁甲》中的“三奇就在已丙丁”，把孪生素数分成以下几种类形：

（1）.两孪生素数，：比如3和5 ，5和7，11和13，…，

(2).三孪生素数，比如41.43.和47 ，461.463.和467，613.和617.619，…，

（3）四孪生素数，比如11.13.和17.19 ，101.103.和107.109，821.823.和827.829，…，，

（4）头孪生素数，比如a1087.1089a1091a，a1867a1871 1873p.1877 1879a ，a7207 a7211 7213a，…，

（5）尾孪生素数，比如a1607 1609a1613a，a2657 2659a2663a，a8861 8863a 8867a a8969 8971a ，…

（6）头尾孪生素数，比如a1087 a1091 1093a 1097a

，a1423a1427.1429a1433a，a1297 a1301 1303a 1307a，…，，

现在将以上六种孪生素数简称头尾孪生素数，记作：“m”孪生素数。原来计划义孪生素数记作“q”孪生素数。

根据以上两种定义，将10000以内二孪生、三孪生、四孪生、五孪生、六孪生素数哥猜相加和数进行列表请看下方具体内容：

（部分）

10…10=5q5.12=7q5.14=7q7.16=11q5.18=11q7.20=13q7.

22=11q11.24=11w13.26=13q13.28=17q11.3

1000.1000=569q431.1002=569q433.1004=571q433.1006=857q149.

1008=857q151.1010=829q181.1012=821q191.1014=191q823.

1016=193q823.1018=419q599.1020=1019q1.1022.=1021q1.

1024=1021q3.1026=1021q5.1028=1021q7.1030=853q277.

1032=1031q1.1034=1033q1.1036=1033q3.1038=1033q5. pppp

1040=1033q7.1042=521q321.1044=033q11.1146=433q613.

1048=857q191.1050=1033q17.1052=1033q19.1054=857q197.

1056=857q199.1058=601q457.1060=1049q11.1062=1033q29.

1064=1033q31.1066=467q599.1068=467q601.1070=457q613.

1072=431q641.1074=1033q41.1076

9148=137q9011.9150=137q9013.9152=139q9013.9154=113m9041.

9156=113m9043.9158=619q8539.9160=149q9011.9162=149q9013.

9164=151q9013.9166=197q8969.9168=197q8971.917

实变函数学十遍，泛函分析心犯寒。。这个只是数学专业本科的难度罢了。

前沿的就根本是大量个分支，每个小圈子整个世界也许就既然如此那，几十人几百人，分分钟失传招不到足够的学生当老师，一个几何教授完全不懂另一个拓扑教授讲什么这再正常不过。

现代数学发展到了什么阶段？我们列产生代数学时期（公元 19 世纪 70 年代- ）发展的主要内容节点：

1． 康托的“集合论”

2． 柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”

3． 希尔伯特的“公理化体系”

4． 高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”

5． 伽罗瓦创立的“抽象代数”

6． 黎曼开创的“现代微分几何”

7． 其它：数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数学、分形与混沌 等等

详细叙述请看下方具体内容，期待你的点评。

一．19世纪前半叶，数学上产生两项革命性的发现-非欧几何与不可交换代数。

大概在1826年，大家发现了与一般的欧几里得几何不一样的、但也是正确的几何-非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶第一提出的。非欧几何的产生，改变了大家觉得欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且，是20世纪相对论出现的前奏和准备。

后来证明，非欧几何所致使的思想解放对现代数学和现代科学有着非常重要的意义，因为人类终于启动突破感官的局限而深入到自然的更深入透彻的实质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何奉献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。

1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域-黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方式的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年，希尔伯特别针对此作了重要奉献。

在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数-四元数代数。不可交换代数的产生，改变了大家觉得存在与大多数情况下的算术代数不一样的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。

另外一个方面，因为一元方程根式解答条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的主要内容是以讨论方程的解法为中心的。群论后面，各种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。

二．分析的算术化

1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目标例子，要求大家对分析基础作更深入透彻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身先应该严格化，然后分析的全部概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想差不多得以达到，使今天的都分析可以从表达实数系特点的一个公设集中逻辑地推导出来。

现代数学家们的研究，远远超过了把实数系作为分析基础的设想。欧几里得几何通过其分析的解释，也可放在实数系中；假设欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的很多分支；能够让非常多的代数相容性依赖于实数系的相容性。其实，基本上：假设实数系是相容的，则现存的都数学也是相容的。

19世纪后期，因为狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出各种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各自不同的数学能以集合论为基础来讲述。

三．拓扑学启动是几何学的一个分支

但是，直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为针对连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都可以在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。

20世纪有不少数学著作曾为认真考核数学的逻辑基础和结构，这反过来致使公理学的出现，即针对公设集合及其性质的研究。不少数学概念经受了重要的变革和推广，并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。大多数情况下(或抽象)集合论致使的一部分意义深远而困扰大家的悖论，迫切需得到处理。逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具，被仔细地检查，以此出现了数理逻辑。逻辑与哲学的各种关系，致使数学哲学的各自不同的不一样学派的产生。

四．20世纪40～50年代，世界科学史上出现了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。除开这点，还产生了不少新的情况，促使数学出现急剧的变化。

为了减少浪费和不要漫无目的性，迫切需精确的理论分机和设计。再次是现代科学技术越来越趋向定量化，各个科学技术领域，都需使用数学工具。数学基本上渗透到全部的科学部门中去，以此形成了不少边缘数学学科，比如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等。

上面说的情况让数学发展呈现出一部分比较明显的特点，可以简单地归纳为三个方面：计算机科学的形成，应用数学产生很多的新分支、纯粹数学有若干重要的突破。

20世纪40年代以后，涌现出了非常多新的应用数学科目，内容的丰富、应用的广泛、名目标繁多都是史无前例的。比如对策论、规划论、排队论、优化方式、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。比如数学家们更多地借助计算机研究纯粹数学，这方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的发现，它们是非线性科学的核心问题，可谓两朵美丽的“数学物理之花”。

20世纪40年代以后，基础理论也有了飞速的发展，产生不少突破性的工作，处理了一部分带根本性质的问题。在这途中引入了新的概念、新的方式，推动了整个数学前进。比如，希尔伯特1990年在国际教学家大会上提出的尚待处理的23个问题中，有部分问题得到了处理。60年代以来，还产生了如非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学分支。除开这点近几十年来经典数学也取得了巨大进展，如可能性论、数理统计、剖析解读数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等。