an=n2求和公式推导方法，泰勒公式的推导详解

an=n2求和公式推导方式？

设等式（n＋1）^3-n^3=3n^2+3n＋1。求和，∑｛（n＋1）^3-n^3｝＝3∑n^2+3∑n＋∑1。得∑n^2=（1/3）｛（n＋1）^3-1-n-3n（n＋1）/2｝=（1/6）n（n＋1）（2n＋1）。那就是自然数的平方和公式。

数列1n2求和公式是1＋1/22＋1/32＋ … ＋1/n2→π2/6 。

推导过程请看下方具体内容：1、先将sinx按泰勒级数展开： sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ … 于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ … 2、令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ … 而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,… 故方程sin√y/√y＝0的根为π2,(2π)2,… 即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π2,(2π)2,… 3、由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数 即1/π2＋1/(2π)2＋…＝1/3! 故1＋1/22＋1/32＋ … ＝π2/6。

（4）其他推论：

（1）和=（首项+末项）×项数÷2；

（2）项数=（末项-首项）÷公差+1；

（3）首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

（4）末项=2x和÷项数-首项；

（5）末项=首项+（项数-1）×公差；

（6）2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

设S=1^2+2^2+.+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1

...

..

...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+.+n] +n

故此，S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

泰勒公式的推导和应用？

泰勒公式在x=a处展开为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……（1）

令x=a则a0=f(a)

将（1）式两边求一阶导数，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……（2）

令x=a,得a1=f'(a)

对（2）两边求导，得

f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f''(a)/2!

继续下去可得an=f(n)(a)/n!

故此，f(x)在x=a处的泰勒公式为：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，以此可以进行近似计算，也可计算极限值，等等。

此外一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b当中。

泰勒公式在x=a处展开为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……（1）

令x=a则a0=f(a)

将（1）式两边求一阶导数，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……（2）

令x=a,得a1=f'(a)

对（2）两边求导，得

f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f''(a)/2!

继续下去可得an=f(n)(a)/n!

故此，f(x)在x=a处的泰勒公式为：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，以此可以进行近似计算，也可计算极限值，等等。

此外一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)↗(b-a),ε介于a与b当中。

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