麦考利久期公式的数学推导，影响久期的因素有哪些,如何影响

是由到期收益率的定义推导出来的。到期收益率公式清楚吧，等式两边分别对到期收益率y求导，再在等式两边同除以价格p，就故将他中一些定义为D久期。久期是一种测算债券出现现金流的平均期限的方式，可以用于测度债券对利率变化的敏感性。弗雷得里克.麦考利按照债券的每一次息票利息和本金支付时间的加权平均来计算久期，称为麦考利久期(MACAULAY'SDURATION)。详细的计算将每一次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流时间同对应的权重相乘,后合计出整个债券的久期。久期是固定收入资产组合管理的重点概念有以下哪些因素：

1、它是对资产组合实质上平均期限的一个简单概括统计。

2、它被看做是资产组合免疫与利率风险的重要工具。

3、是资产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产针对利率波动的敏感性完全一样。到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的重点原因，与久期存在以下的关系：1、零息票债券的久期等于到它的到期时间。2、到期日不变,债券的久期随息票据利率的降低而延长。3、息票据利率不变,债券的久期随到期时间的增多而增多。

4、其他原因不变,债券的到期收益率很低时,息票债券的久期较长。麦考利久期定理：有关麦考利久期与债券的期限当中的关系存在以下6个定理：定理1：唯有贴现债券的麦考利久期等于它们的到期时间。定理2：直接债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。唯有仅剩后一期就要期满的直接债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1。定理3：统一公债的麦考利久期等于（1+1/r），这当中r是计算现值采取的贴现率。定理4：在到期时间一样的条件下，息票率越高，久期越短。定理5：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期大多数情况下也越长。定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

麦考利久期(Macaulay duration)。久期的概念早是麦考利 （Frederick Robertson Macaulay (1882.8.12–1970.3) )在1938年提出来的，故此，又称麦考利久期（简记为D）。麦考利久期是为了让用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。它是债券在未来出现现金流时间的加权平均,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重。

麦考利久期有请看下方具体内容假设：收益率曲线是平坦的；用于全部未来现金流的贴现率是固定的。

决定久期即影响债券价格对市场利率变化的敏感性涵盖三要素：到期时间、息票利率和到期收益率。

影响久期的原因涵盖：到期时间、息票利率和到期收益率。

久期是一种测度债券出现现金流的平均期限的方式。因为债券价格敏感性会随着到期时间的增长而增多，久期也可以用来测度债券对利率变化的敏感性，按照债券的每一次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期。　

在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它用来衡量债券价格变化对利率变化的敏感度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率变化给债券价格导致的影响。修正久期越大，债券价格对收益率的变化就越敏感，收益率上升所导致的债券价格下降幅度就越大，而收益率下降所导致的债券价格上升幅度也越大。可见，同等要素条件下，修正久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。　　

正是久期的上面说的特点给我们的债券投资提供了参照。当我们判断现目前的利率水平存在上升可能，完全就能够集中投资于短时间品种、缩短债券久期；而当我们判断现目前的利率水平有可能下降，则拉长债券久期、加大长时间债券的投资，这个问题就能有效的帮我们在债市的上涨中取得更高的溢价。

需说明的是，久期的概念不仅广泛应用在个券上，而且，广泛应用在债券的投资组合中。一个长久期的债券和一个短久期的债券可以组合一个中等久期的债券投资组合，而增多某一类债券的投资比例又可以使该组合的久期向该类债券的久期倾斜。故此当投资者在进行大资金运作时，准确判断好未来的利率走势后，然后就是确定债券投资组合的久期，在该久期确定的情况下，灵活调整各种债券的权重，差不多就可以达到预期的效果。

不一样债券价格对市场利率变化的敏感性明显不同。债券久期是衡量这样的敏感性重要，要优先集中精力和主要的标准。久期等于利率变化一个单位所导致的价格变化。如市场利率变化1%，债券的价格变化3，则久期是3。

决定久期即影响债券价格对市场利率变化的敏感性涵盖三要素：到期时间、息票利率和到期收益率。

一般计算债券组合有效期的方式是平均期限，也称麦考利久期。

这样的久期计算方式是将债券的偿还期进行加权平均，权数为对应偿还期的货币流量（利息支付）贴现后与市场价格的比值，即有：债券久期=时间加权现值/总现值=[∑年份×现值]/[∑现值]。

假设市场利率是Y，现金流（X1,X2,...,Xn）的麦考利久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]，即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx。

这当中，PVXi表示第i期现金流的现值，D表示久期。因为这个原因久期是一种测度债券出现现金流的平均期限的方式