麦考利久期公式的数学推导，马考勒久期计算公式

是由到期收益率的定义推导出来的。到期收益率公式清楚吧，等式两边分别对到期收益率y求导，再在等式两边同除以价格p，就故将他中一些定义为D久期。久期是一种测算债券出现现金流的平均期限的方式，可以用于测度债券对利率变化的敏感性。弗雷得里克.麦考利按照债券的每一次息票利息和本金支付时间的加权平均来计算久期，称为麦考利久期(MACAULAY'SDURATION)。详细的计算将每一次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流时间同对应的权重相乘,后合计出整个债券的久期。久期是固定收入资产组合管理的重点概念有以下哪些因素：

1、它是对资产组合实质上平均期限的一个简单概括统计。

2、它被看做是资产组合免疫与利率风险的重要工具。

3、是资产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产针对利率波动的敏感性完全一样。到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的重点原因，与久期存在以下的关系：1、零息票债券的久期等于到它的到期时间。2、到期日不变,债券的久期随息票据利率的降低而延长。3、息票据利率不变,债券的久期随到期时间的增多而增多。

4、其他原因不变,债券的到期收益率很低时,息票债券的久期较长。麦考利久期定理：有关麦考利久期与债券的期限当中的关系存在以下6个定理：定理1：唯有贴现债券的麦考利久期等于它们的到期时间。定理2：直接债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。唯有仅剩后一期就要期满的直接债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1。定理3：统一公债的麦考利久期等于（1+1/r），这当中r是计算现值采取的贴现率。定理4：在到期时间一样的条件下，息票率越高，久期越短。定理5：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期大多数情况下也越长。定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

Macaulay久期就是从现目前时刻至到期日当中全部现金流流入的加权平均时间间隔。

债券价格B=∑Ci·e^(-y·Ti)

这当中Ci表示各付息日Ti的现金流入 y表示连续复利计算的到期收益率

将B对y求导并除以B取负号就得到了麦考利久期

D=-dB/dy·1/B=∑[Ci·e^(-y·Ti)]·Ti/B

当收益率有一微小的变化△y时

B（y）在y.处一阶泰勒展开为B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y

则△B/B=dB/dy·1/B·△y

由D=-dB/dy·1/B得△B/B=-D·△y

当△y很大时，需对B（y）在y.处二阶泰勒展开：

B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y+1/2·d²B/dy²·(△y)²

△B/B=dB/dy·1/B·△y+1/2·1/B·d²B/dy²·(△y)²

凸度C=1/B·d²B/dy²

代入得到△B/B=-D·△y+1/2·C·(△y)²

久期的计算有不一样的方式。第一讲解简单的一种，即平均期限（也称麦考利久期）。这样的久期计算方式是将债券的偿还期进行加权平均，权数为对应偿还期的货币流量（利息支付）贴现后与市场价格的比值，即有：

D=1×w1+2×w2+…+n×wn

式中：

ci-第i年的现金流量（支付的利息或本金）；

y-债券的到期收益率；

P-现目前市场价格。

例子：某债券面值100元，票面利率5%，每一年付息，期限2年。假设到期收益率为6%，既然如此那，债券的久期为多少？

解答：第1个步骤，计算债券的价格：利用财务计算器N=2，I/y=6，PMT=5，FV=100，CPT PV=? PV=98.17。

第2个步骤，分别计算w1、w2:

w1=4.72/98.17=0.0481

w2=93.45/98.17=0.9519

第3个步骤，计算D值:

D=1×0.0481+2×0.9519=1.9519

一般计算债券久期的方式是平均期限，也称麦考利久期。这样的久期计算方式是将债券的偿还期进行加权平均，权数为对应偿还期的货币流量（利息支付）贴现后与市场价格的比值，即有：债券久期=时间加权现值/总现值=[∑年份×现值]/[∑现值]。

久期的计算有不一样的方式。这里讲解简单的一种，即平均期限（也称麦考利久期）。这样的久期计算方式是将债券的偿还期进行加权平均，权数为对应偿还期的货币流量（利息支付）贴现后与市场价格的比值，即有：

D=1×w1+2×w2+…+n×wn

这当中：

pn=ci/（1+y）^（i）

p=p1+p2+...+pn

wn=pn/p

式中：

ci-第i年的现金流量（支付的利息或本金）；

y-债券的到期收益率；

P-现目前市场价格。

债券组合的久期等于每只债券久期的加权平均，权数用持有该债券的市值占债券持有量市值的比重。

假设市场利率是Y，现金流（X1,X2,...,Xn）的麦考利久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]，即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx。

这当中，PVXi表示第i期现金流的现值，D表示久期。因为这个原因久期是一种测度债券出现现金流的平均期限的方式。