tan2a二倍角公式的变形公式，二项式定理升幂和降幂

tan2α=2tanα/【1-（tanα）^2】

升幂定理在数论中的幂次分析应用甚广，特撰文讲解其内容及应用。

升幂定理

(Lifting The Exponent)

是奇素数， 是正整数， 是整数， , ,

则

证明略。

由此便直接得到一简单推论：

若 是奇素数， , 且 是奇数，

则有

时，我们也还是有升幂定理，这个时候只要能考虑 都是奇数时的情况就可以。

对 的奇偶性分类

若 是奇数，

若 是偶数。

升幂公式它是二倍角公式的变形是将一个角的三角函数变形成为二次的该角三角函数的形式，变换后该角变小了1/2倍，因为这个原因也叫升幂缩角公式。

内容

sinx=2sin(x/2)cos(x/2)

cosx=2cos^2(x/2)-1=1-2sin^2(x/2)=cos^2(x/2)-sin^2(X/2)

tanx=2tan(x/2)/[1-tan^2(x/2)]

推导

二倍角公式：

sin2x=2sinxcosx

cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2

tan2x=2tanx/[1-(tanx)^2]

将二倍角公式中的2x换成x，对应的x换成x/2就得到升幂公式

三角函数乘积变换和差公式：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2；cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2；sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2；sin(-α)=-sinα等。两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能公式：

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

降幂升角的公式：cos2x=1+2cos²x-1。三角函数中的降幂公式可降低三角函数指数幂。多项式各项的先后根据某一个字母的指数渐渐减少的顺序排列,叫做这一字母的降幂。直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式。

二倍角公式是数学三角函数中经常会用到的一组公式，通过角α的三角函数值的一部分变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式涵盖正弦二倍角公式、余弦二倍角公式还有正切二倍角公式。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛地运用。

三角函数的降幂公式是：cos²α

=

(

1+

cos2α

)

/

2

sin²α=(

1

-

cos2α

)

/

2

tan²α=(1-cos2α)/(1+cos2α)

运用二倍角公式就是升幂，将公式cos2α变形后可得到降幂公式：

cos2α=cos²α－sin²α=2cos²α－1=1－2sin²α

∴cos²α=(1+cos2α)/2

sin²α=(1-cos2α)/2

降幂公式，就是降低指数幂由2次变为1次的公式，可以减轻二次方的麻烦。

二倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos²α－sin²α=2cos²α－1=1－2sin²α

tan2α=2tanα/（1-tan²α）

三角函数的降幂公式是：cos²α=(1+cos2α)/2；sin²α=(1-cos2α)/2；tan²α=(1-cos2α)/(1+cos2α)。降幂公式，就是降低指数幂由2次变为1次的公式，可以减轻二次方的麻烦。



　　三角函数中的降幂公式可降低三角函数指数幂。多项式各项的先后根据某一个字母的指数渐渐减少的顺序排列，叫做这一字母的降幂。直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式。



　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的实质是任何角的集合与一个比值的集合的变量当中的映射。一般的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但依然不会完全。



　　幂级数

　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)

　　它们的各项都是正整数幂的幂函数,这当中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数，这样的级数称为幂级数。

拓展回答：

万能公式，可以把全部三角函数都化成唯有tan(a/2)的多项式之类的。用了万能公式后面，全部的三角函数都用tan(a/2)来表示，为方便起见可以用字母t来代替，这样一个三角函数的式子成了一个含t的代数式，可以用代数的知识来解。万能公式，架起了三角与代数间的桥梁。

详细作用含有以下4点：

将角统一为α/2；

将函数名称统一为tan；

任意实数都可以表示为tan(α/2)的形式（除特殊），可以用正切函数换元；

在某些积分中,可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。

总结：

因为这个原因，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。而被称为万能公式的因素是利用的代换可以处理一部分相关三角函数的积分。参见三角换元法。

三角函数恒等变形公式以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数：　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)　　

三角和的三角函数：　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)　　辅助角公式：　　Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，

这当中　　sint=B/(A²+B²)^(1/2)　　cost=A/(A²+B²)^(1/2)　　tant=B/A　　Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B　　

倍角公式：　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)　　cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)　　tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]　　

三倍角公式：　　sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)　　cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)　　tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)　　

半角公式：　　sin(α