离散率怎么算，离散卷积公式是什么?

AVEDEV函数主要用来衡量数据的离散程度.假设样本数据在A1:A100,计算离散程序输入以下公式=AVEDEV(A1:A100)离散度,应该就是可以用标准差来显示的。每个数和平均数的差的平方相加再除以个数,后开方.

离散系数指标有：全距（极差）系数、平均差系数、方差系数和标准差系数等。经常会用到的是标准差系数，用CV(Coefficient of Variance)表示。

CV(Coefficient of Variance):标准差与均值的比率。

用公式表示为：CV=σ/μ

计算公式

极差（全距）系数：Vr=R/X’ ；

平均差系数：Va，d=A.D/X’；

方差系数：V方差=方差/X’ ；

标准差系数：V标准差=标准差/X’；

这当中，X’表示X的平均数。

卷积公式 解释 卷积公式是用来求随机变量和的密度函数(pdf)的计算公式。 定义式： z(t)=x(t)*y(t)= ∫x(m)y(t-m)dm. 已知x,y的pdf,x(t),y(t).目前要求z=x+y的pdf. 我们作变量替显，令 z=x+y,m=x. 雅可比行列式=1.既然如此那，,z，m联合密度就是f(z,m)=x(m)y(z-m)*1. 这样，完全就能够比较容易求Z的在（z,m)中边缘分布 即fZ(z)=∫x(m)y(z-m)dm....

. 因为这个公式和x(t),y(t)存在一一对应的关系。

为了方便，故此，记 ∫x(m)y(z-m)dm=x(t)*y(t) 长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v，卷积w的向量序列长度为(m+n-1), 当m=n时, w(1) = u(1)*v(1) w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1) w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1) … w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ … +u(n)*v(1) … w(2*n-1) = u(n)*v(n) 当m≠n时,应以0补齐阶次低的向量的高位后进行计算 这是数学中经常会用到的一个公式，在可能性论中是个重点也是一个难点。

假设随机变量只获取有限个值或无穷能按一定次序一—列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的可能性p（xi）乘积之和称为该离散型随机变量的数学希望（若该求和绝对收敛），记为E（x）是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

离散型随机变量X的取值为X1，X2，X3……X，p（Xi），p（X2），p（X3）.……p（Xn）

为X对应取值的可能性，可理解为数据

X1，X2，X3……Xn产生的频率f（Xi），则：

E（X）=X1*p（X1）+X2*p（X2）+.…+X，*p（X1）=X1*f（X1）+X2*f（X2）+.…+X，*f（X，）

E（X）=）x欢Pk k=1

减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，此公式来自事件关系中的差事件，再结合可能性的可列可加性总结出的公式。

加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合可能性的可列可加性总结出来。学生还应掌握并熟悉三个事件相加的加法公式。

假设你学的不是太好，唯有应记公式，我建议你应该分类结合性质记公式。 如（1）离散型函数放在一起记，连续性函数放在一起记；

（2）希望与希望的性质联系在一起记，方差与希望的关系等；

（3）协方差定义及与希望的关系等；

（4）矩估计建议你看看书，经典的例题； (5) 三个典型的分布清楚,τ分布χ分布，F分布等结合其性质来记。 不清楚对你是否有帮......

1、离差系数算法：

表示变量可能性分布函数离散程度的指标。也称变差系数，代表符号为Cv，计算公式为：

式中Cν为可能性分布的标准差б与均值之比值。Cv值很大，则系列的离散程度很大，即系列中各项的值同均值相差很大；Cv值较小，则系列的离散程度较小，即系列各项的值同均值相差较小。

2、强度保证率算法：

由可能性度t，再按照标准正态分布曲线方程就可以求得强度保证率P（%），或利用上表可查出。表中t为可能性度，P（t）为强度保证率。

按《JGJT23-2023回弹法检测混凝土抗压强度技术规程》的相关规定进行回弹强度计算.当测区数少于10个时,按取小值.当测区强度值产生小于10.0MPa时,取

AVEDEV函数主要用来衡量数据的离散程度.

假设样本数据在A1:A100,计算离散程序输入以下公式

=AVEDEV(A1:A100)

离散度,应该就是可以用标准差来显示的。

每个数和平均数的差的平方相加再除以个数,后开方

离散时间函数的表示方式有3种，分别是:

1、列表法:用表格的方法把x与y的对应关系一一列举出来。很少用。

2、剖析解读法:用剖析解读式把把x与y的对应关系表达出来，常见的一种表示函数关系的方式。

3、图像法:在坐标平面中用曲线的表示出函数关系。比较经常会用到，常常和剖析解读式结合起来理解函数的性质。

设(X,Y)是二维随机变量，针对任意实数x,y，二元函数：

F(x,y) = P{(X=x) 交 (Y=y)} = P(X=x, Y=y)

称为：二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

联合可能性分布的几何意义：假设将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，既然如此那，分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的可能性。

给定至少两个随机变量X,Y,…, 它们的联合可能性分布(Joint probability distribution)指的是每一个随机变量的值落入特定范围或者离散点集合内的可能性. 针对唯有两个随机变量的情况, 称为二元分布(bivariate distribution).

联合可能性分布可以使用联合累计分布函数(joint cumulative distribution function), 连续随机变量的联合可能性密度函数(joint probability density function)或者离散变量的联合可能性质量函数(joint probability mass function)来描述. 由此又衍生出两个概念: 边缘分布(marginal distribution)和条件可能性分布(conditional probability distribution).

二. 离散变量的联合可能性质量函数公式

公式:



是给定X=xX=x的Y=yY=y的条件可能性.

而且，有:



假设XX和YY相互独立:



假设XX和YY条件不独立(conditionally dependent):

P(X=x and Y=y)=P(X=x)⋅P(Y=y|X=x)P(X=x and Y=y)=P(X=x)·P(Y=y|X=x)

也可使用联合累计分布函数的差分来计算:

联合累计分布函数定义是:



故此，F(x,y)F(x,y)的导数(差分)就是P(X=x and Y=y)P(X=x and Y=y)

三. 使用Matlab计算离散2D联合分布

参考: Calculating a 2D joint probability distribution

离散2D联合分布可用于计算两张图片的互信息MI.

0. 定义两个离散的随机变量.

有N个点分布在边长为1的正方形区域内. 把正方形分为K1*K2的小矩形. 统计每个小矩形内的点的个数.

% Data

N = 1e5；% number of points

xy = rand(N, 2)；% coordinates of points

xy(randi(2*N, 100, 1)) = 0；% add some points on one side

xy(randi(2*N, 100, 1)) = 1；% add some points on the other side

xy(randi(N, 100, 1), :) = 0；% add some points on one corner

xy(randi(N, 100, 1), :) = 1；% add some points on one corner

inds= unique(randi(N, 100, 1))；

xy(inds, :) = repmat([0 1], numel(inds), 1)；% add some points on one corner

inds= unique(randi(N, 100, 1))；

xy(inds, :) = repmat([1 0], numel(inds), 1)；% add some points on one corner

% Intervals for rectangles

K1 = ceil(sqrt(N/5))；% number of intervals along x

K2 = K1；% number of intervals along y

int_x = [0:(1 / K1):1]；% intervals along x

int_y = [0:(1 / K2):1]；% intervals along y

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1. 从定义出发, 使用for循环:

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count_cells = zeros(K1, K2)；

for k1 = 1:K1

inds1 = (xy(:, 1) = int_x(k1)) (xy(:, 1) int_x(k1 + 1))；

for k2 = 1:K2

inds2 = (xy(:, 2) = int_y(k2)) (xy(:, 2) int_y(k2 + 1))；

count_cells(k1, k2) = sum(inds1 .* inds2)；% 布尔相乘得到交集点的个数

end

end

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% Elapsed time is 39.357691 seconds.

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可见使用两重循环的计算时间很长.

2. 使用hist3函数

N=hist3(X,Edges,edges)是matlab中针对计算二元分布的函数.

edges是包含两个递增array的cell. 第一维分组edge1是edges{1}, 第二维分组edge2是edges{2}.

其实就是常说的:

edges1(i)=X(k,1)edges1(i+1)edges1(i)=X(k,1)edges1(i+1)

edges2(j)=X(k,2)edges2(j+1)edges2(j)=X(k,2)edges2(j+1)

正好落在edges1(i+1)edges1(i+1)或者edges2(j+1)edges2(j+1)上的点的个数放在N的后一行或者后一列.

hist3不统计edges范围外的部分.

N是一个二维矩阵, 统计的落到每个单元格内的点的个数.

tic

count_cells_hist = hist3(xy, Edges, {int_x int_y})；

% 注意hist3得到的矩阵是K1+1*K2+1的, 故此，把后一行和一列去除.

% 后一行或一列表示的是 X(k,1)= edges{1}(end)或者X(k,2) = edges{2}(end)的点数

count_cells_hist(end, :) = []； count_cells_hist(:, end) = []；

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all(count_cells(:) == count_cells_hist(:))

% Elapsed time is 0.017995 seconds.

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明显比用两重for循环快多了.

3. 使用矩阵二元操作bsxfun

C = bsxfun(fun,A,B)对A和B做逐个元素的二元操作, 操作由函数 fun指定.

返回的C中, 1表示满足条件, 0 表示没有满足条件. 可用的fun有:

funoperation

@plusPlus

@minusMinus

@timesArraymultiply

@rdivideRightarray divide

@ldivideLeftarray divide

@powerArray power

@maxBinary maximum

@minBinary minimum

@remRemainder after division

@modModulus after division

@atan2Four-quadrant inverse tangent； result in radians

@atan2dFour-quadrant inverse tangent； result in degrees

@hypotSquare root of sum of squares

@eqEqual

@neNot equal

@ltLess than

@leLess than or equal to

@gtGreater than

@geGreater than or equal to

@andElement-wiselogical AND

@orElement-wiselogical OR

@xorLogicalexclusive OR

使用bsxfun的matlab代码:

%% bsxfun

tic

xcomps = single(bsxfun(@ge,xy(:,1),int_x))；% 10000*143矩阵

ycomps = single(bsxfun(@ge,xy(:,2),int_y))；% 10000*143矩阵

% 基本上等同于求CDF

count_again = xcomps. * ycomps； % 143x143 = 143x1e5 * 1e5x143

% 差分后是142*142

count_again_fix = diff(diff(count_again))；

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% Elapsed time is 0.178316 seconds.

all(count_cells_hist(:) == count_again_fix(:))

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bsxfun稍逊于hist3, 可以针对没有statistics toolbox的情况下使用.

4. 使用accumarray

A= accumarray(subs,val)使用subs的元素值作为索引. subs和val是一一对应的. 将subs中一样值对应的val值累加. 其实就是常说的说, subs中元素的位置决定了val什么元素相加, subs中元素的值决定了累加值在输出中的位置. 看matlab help中示例:

Example 1

Create a 5-by-1 vector and sum values for repeated 1-D subscripts:

val = 101:105；

subs = [1； 2； 4； 2； 4]；

A = accumarray(subs, val)

A =

101 % A(1) = val(1) = 101

206 % A(2) = val(2)+val(4) = 102+104 = 206

0 % A(3) = 0

208 % A(4) = val(3)+val(5) = 103+105 = 208

subs中元素值一定要是正整数值. 故此，在表示分组时, 可以把[0,1]区间变为[1,K1]区间. matlab代码:

%%%%% 第五种方式Using accumarray

% Another approach is to use accumarray to make the joint histogram after we bin the data.

% Starting with int_x, int_y, K1, xy, etc.:

tic

% take (0,1) data onto [1 K1], following A.Dondas approach for easy comparison

ii = floor(xy(:,1)*(K1-eps))+1；

ii(ii1) = 1； ii(iiK1) = K1；

jj = floor(xy(:,2)*(K1-eps))+1；

jj(jj1) = 1； jj(jjK1) = K1；

% create the histogram and normalize

H = accumarray([ii jj],ones(1,size(ii,1)))；

PDF = H / size(xy,1)； % for probabilities summing to 1

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% Elapsed time is 0.006356 seconds.

all(count_cells_hist(:) == count_again_fix(:))

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ms级别! 真是快!

5. 使用mex编译

mex混合编程参考: 在Matlab中使用mex函数进行C/C++混合编程

#include mex.h

// http://stackoverflow.com/questions/19745917/calculating-a-2d-joint-probability-distribution

void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])

{

unsigned long int hh, ctrl； /* counters */

unsigned long int N, m, n；/* size of matrices */

unsigned long int *xy；/* data */

unsigned long int *count_cells； /* joint frequencies */

/* matrices needed */

mxArray *count_cellsArray；

/* Now we need to get the data */

if (nrhs == 3) {

xy = (unsigned long int*) mxGetData(prhs[0])；

N = (unsigned long int) mxGetM(prhs[0])；//取矩阵的行数

m = (unsigned long int) mxGetScalar(prhs[1])；

n = (unsigned long int) mxGetScalar(prhs[2])；

}

/* Then build the matrices for the output */

count_cellsArray = mxCreateNumericMatrix(m + 1, n + 1, mxUINT32_CLASS, mxREAL)；

count_cells = mxGetData(count_cellsArray)；

plhs[0] = count_cellsArray；

hh = 0； /* counter for elements of xy */

/* for all points from 1 to N */

for(hh=0； hhN； hh++) {

ctrl = (m + 1) * xy[N + hh] + xy[hh]；

count_cells[ctrl] = count_cells[ctrl] + 1；

}

}

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将代码保存为: joint_dist_points_2D.c. 在matlab cmd中运行:

mex joint_dist_points_2D.c

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生成joint_dist_points_2D.mexw32文件.

matlab调用代码:

% Use mex function

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xy2 = uint32(floor(xy ./ repmat([1 / K1, 1 / K2], N, 1)))；

count_cells = joint_dist_points_2D(xy2, uint32(K1), uint32(K2))；

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也是很快的.