勒让德函数公式，n阶勒让德多项式递归公式

在数学中，勒让德函数P λ ，Q λ 和有关的勒让德函数P λ μ ，Q λ μ 是勒让德多项式与非整数度的泛化。在数学中，勒让德函数P λ ，Q λ 和有关的勒让德函数P λ ，Q λ 是勒让德多项式与非整数度的泛化。有关的勒让德函数是勒让德方程的解 这当中复数λ和μ分又称为有关的勒让德函数的度数和顺序。 勒让德多项式是阶数μ= 0的勒让德函数。

用递归方式求n阶勒让德多项式的值，递归公式请看下方具体内容：

当n=0时，p(0,x)=1

当n=1时，p(1,x)=x

当n1时，p(n,x)=((2*n-1)*x*p(n-1,x)-(n-1)*p(n-2,x))/n

圆周率的计算公式有以下哪些：

1、马青公式　π=16arctan1/5-4arctan1/239

2、拉马努金公式

3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法 高斯-勒让德公式

4、波尔文四次迭代式

5、bailey-borwein-plouffe算法

6、丘德诺夫斯基公式　

7、莱布尼茨公式

圆周率的记忆方式：

【中文背圆周率的口诀】

1π=3.14 

2π=6.28

3π=9.42 

4π=12.56

5π=15.7

6π=18.84

7π=21.98

8π=25.12

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，公式为：

圆周率用希腊字母 π（读作pài）表示是一个常数（约等于3.141592654）是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。

在平日生活中，一般都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付大多数情况下计算。就算是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只要能取值至小数点后几百个位。

周长C/直径d=3.14159。π＝圆周长/直径＝102573/32650＝3.141592649310872894333843797856

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，大多数情况下用希腊字母π表示是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的重点值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的小正实数xπ=sin(180°÷n）×n公式源自于圆形-正无穷边形，当此公式n=∞时π的值误差率为0，π=sin（180°÷1×10¹⁴）×10¹⁴=3.1415926535898。

高斯求积公式是变步长数值积分的一种，基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面简单单就来说一下明一下思想（只是说明，并不是证明）： 假设目前要求f(x)在[-1,1]上的积分值，只允许计算一次f(x)的值，你会怎么做呢？

明显我们会选取一点x0,计算出f(x0),然后用A=f(x0)*2作为近似值。目前问题是什么样选取x0，让结果尽量精确呢？

直觉告诉我们选取区间中点适合，这其实就是常说的这里说的的中点公式，其实就是常说的1点高斯求积公式。

假设选取个点作为计算节点，同样可以按公式：A=k1*f(x1)+k2*f(x2)+...+kn*f(xn)来计算近似值，重要就是如何确定节点xi和系数ki（i=1,2,3,...,n) 理论证明针对n个节点的上面说的求积公式，高有2n-1次的代数精度，高斯公式就是为了让得上面说的公式具有2n-1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数，常见的是利用勒让德多项式，详细的这里不方便说，你查查有关资料吧。

高斯-勒让德算法

这个完全就能够了

第01题 阿基米德分牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数基本上等同于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数基本上等同于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数基本上等同于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是我们全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是我们全体花牛数1/4+1/5；花牛数

是我们全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是我们全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是什么样组成的？

第02题 德·梅齐里亚克的法码问题

一位商人有一个40磅的砝码，因为跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且，可以用这4块来称从1至40磅当中的任意整数磅的重物。

问这4块砝码碎片各重多少？

第03题 牛顿的草地与母牛问题

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；

a和#39；头母牛将b和#39；块地上的牧草在c和#39；天内吃完了；

a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；

得出从a到c"9个数量当中的关系？

第04题 贝韦克的七个7的问题

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：

* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *

* * * * * *

* * * * * 7 *

* * * * * * *

* 7 * * * *

* 7 * * * *

* * * * * * *

* * * * 7 * *

* * * * * *

* * * * * *

用星号标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题 柯克曼的女学生问题

某寄宿学校有十五名女生，她们常常每天三人一行地散步，问要怎样具体安排才可以使每

个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题 伯努利-欧拉有关装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它需要占有的位置。

第07题 欧拉有关多边形的剖分问题Euler和#39；s Problem of Polygon Division

可以有多少种方式用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题 鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas和#39； Problem of the Married Couples

n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人当中坐一个男人，而没有一个男人和自己的

妻子并坐，问有多少种坐法？

第09题 卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam和#39；s Binomial Expansion

当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。

第10题 柯西的平均值定理Cauchy和#39；s Mean Theorem

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。

第11题 伯努利幂之和的问题Bernoulli和#39；s Power Sum Problem

确定指数p为正整数时初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+口口。

第12题 欧拉数The Euler Number

求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。

第13题 牛顿指数级数Newton和#39；s Exponential Series

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。

第14题 麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator和#39；s Logarithmic Series

不需要对数表，计算一个给定数的对数。

第15题 牛顿正弦及余弦级数Newton和#39；s Sine and Cosine Series

不需要查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。

第16题 正割与正切级数的安德烈推导法Andre Derivation of the Secant and Tangent Series

在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，假设没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1当中，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。 试利用屈折排列推导正割与正切的级数。

第17题 格雷戈里的反正切级数Gregory和#39；s Arc Tangent Series

已知三条边，不需要查表求三角形的各角。

第18题 德布封的针问题Buffon和#39；s Needle Problem

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面

上，问针触及两平行线之一的可能性如何？

第19题 费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为4n+1形式的素数，只可以用一种两数平方和的形式来表示。

第20题 费马方程The Fermat Equation

求方程x2－dy2=1的整数解，这当中d为非二次正整数。

第21题 费马-高斯不概率定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数。

第22题 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号主要还是看公式

（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2]

第23题 高斯的代数基本定理Gauss； Fundamental theorem of Algebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。

第24题 斯图谟的根的个数问题Sturm；s Problem of the Number of Roots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。

第25题 阿贝尔不概率定理Abel和#39；s Impossibility Theorem

高于四次的方程大多数情况下不可能有代数解法。

第26题 赫米特-林德曼超越性定理

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不

可能等于零。

第27题 欧拉直线Euler和#39；s Straight Line

在全部三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且，三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。

第28题 费尔巴哈圆The Feuerbach Circle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。

第29题 卡斯蒂朗问题Castillon和#39；s Problem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。

第30题 马尔法蒂问题Malfatti和#39；s Problem

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆还有三角形的两边相切。

第31题 蒙日问题Monge和#39；s Problem

画一个圆，使其与三已知圆正交。

第32题 阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius

画一个与三个已知圆相切的圆。

第33题 马索若尼圆规问题Macheroni和#39；s Compass Problem

证明任何可用圆规和直尺所作的图都可以只用圆规作出。

第34题 斯坦纳直尺问题Steiner和#39；s Straight-edge Problem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，假设在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。

第35题 德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。

第36题 三等分一个角Trisection of an Angle

把一个角分成三个相等的角。

第37题 正十七边形The Regular Heptadecagon

画一正十七边形。

第38题 阿基米德π值确定法Archimedes； Determination of the Number Pi

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别是口口和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…这当中口口+1是口口、bv的调和中项，bv+1是bv、口口+1的等比中项。假设已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的全部项。这个方式叫作阿基米德算法。

第39题 富斯弦切四边形问题Fuss和#39； Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线当中的关系。（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题 测量附题Annex to a Survey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。

第41题 阿尔哈森弹子问题Alhazen和#39；s Billiard Problem

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。

第42题 由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。

第43题 在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。

第44题 由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents

已知抛物线的四条切线，作抛物线。

第45题 由四点作抛物线A Parabola from Four Points

过四个已知点作抛物线。

第46题 由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。

第47题 范·施古登轨迹题Van Schooten和#39；s Locus Problem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？

第48题 卡丹旋轮问题Cardan和#39；s Spur Wheel Problem

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？

第49题 牛顿椭圆问题Newton和#39；s Ellipse Problem

确定内切于一个已知（凸）四边形的全部椭圆的中心的轨迹。

第50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

确定内接于直角（等边）双曲线的全部三角形的顶垂线交点的轨迹。