和差化积公式怎么来的，和差化积公式怎么推导
和差化积公式怎么来的？
差化积公式推导过程
第一，我们清楚sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，
sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb，
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb，
故此sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2；
同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2；
同样的，我们还清楚cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb，
故此把两式相加，我们完全就能够得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb；
故此，我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2；
同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2；
这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2；
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2；
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2；
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2；
有了积化和差的四个公式以后，我们只要能一个变形，完全就能够得到和差化积的四个公式。
和差化积公式是如何推导的？
因为sⅰn(乄十β)=sⅰn乄cosβ十COs乄Sⅰnβ，sⅰn(乄一β丿=s讠n乄cOsβ一COs乄sⅰnβ。cOs(乄十β)=COs乄cOsβ一sⅰn乄sⅰnβ，cos(乄一β)=cos乄cOsβ十Sⅰn乄sⅰnβ在上面说的公式中令θ=乄十β，Q=乄一β，则乄=(θ十φ)/2，β=(θ十φ丿/2。故此，有sⅰnθ十sⅰnφ=2sⅰn(θ十φ)/2cOs(θ一φ)/2，sⅰnθ一sⅰnφ=2C0s(θ十φ)/2sⅰn(θ一φ)/2，Cosθ十cOsφ=2COs(θ十φ)/2cOs(θ一φ)/2，cOsθ一COsφ=一2sⅰn(θ十φ)/2sⅰn(θ一φ)/2。
推导过程：
可以用积化和差公式推导，也可由和角公式得到，以下用和角公式证明之。
由和角公式有：
两式相加、减便可得到上面的公式，同理可证明公式。
针对（5）、（6），有：
证毕。
扩展资料
记忆方式
1、只记两个公式甚至一个
可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
第二个公式中的
，即
，这个问题就可以用第一个公式。同理，第四个公式中，
，这个问题就可以用第三个公式处理。
假设对诱导公式足够熟悉，可在运算时把余弦都转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。用时想得起一两个就行了。
2、结果乘以2
这一点简单的记忆方式是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也肯定是[-1,1]，而和差的值域反而[-2,2] ，因为这个原因乘以2是一定要的。
也可通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项一样而导致有系数2，如：
故后需乘以2
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]..
.(1) 两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]..
.(2) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 两式相加得： cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]..
.(3) 两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]..
.(4) 用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b 就可得到和差化积的四个式子。
如：
(1)式可变为： sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2] 其它依次类推就可以。 PS：和差化积的口诀：正弦加正弦，正弦在前面；如sinA+SinB=2sin（A+B）/2 ·COS(A-B)/2正弦减正弦，正弦在后面，如sinA-SinB=2COS（A+B）/2 ·sin(A-B)/2余弦加余弦，余弦肩并肩，如COSA+COSB=2COS（A+B）/2 ·COS(A-B)/2余弦减余弦，余弦看不见，如COSA-COSB=-2Sin（A+B）/2 ·sin(A-B)/2 后面个注意负号不要掉了！积化和差：这个反推就行了
