向量积化和差公式推导，如何推导和差角公式

积化和差公式是：

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

和差化积还有积化和差公式的推导很简单。只要掌握并熟悉

sin(α+β)、sin(α-β)、cos(α+β)、cos(α-β)

这样的基本的三角函数展开公式，就可以轻松掌握并熟悉8个公式的推导

第一、下面这哪些都是高中的主要内容了，要熟稔于心

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ （1）

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ （2）

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ （3）

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ （4）

我们看积化和差公式，我们要找的积是

sinαcosβ、sinαsinβ这样的。

看（1）（2）两个式子，sinαcosβ当作x cosαsinβ当作y。既然如此那，（1）（2）两个式子就基本上等同于一个方程组了，既然如此那，比较容易就可以解出sinαcosβ， cosαsinβ。同理式子 （3） （4）也是

于是得到积化和差的公式

sinαcosβ=【sin(α+β)+sin(α-β)】/2

cosαsinβ =【sin(α+β)-sin(α-β)】/2

sinαsinβ=【cos(α-β)-cos(α+β)】/2

cosαcosβ=【cos(α+β)+cos(α-β)】/2

扩展资料：

得到积化和差的公式后，只需要在做一个小的变换就可以得到和差化积的公式了。令积化和差公式中的α+β=a，α-β=b。

则，α=(a+b)/2 β=(a-b)/2

积化和差公式改写为

sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[sina+sinb]/2

cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[sina-sinb]/2

sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]=[cosb-cosa]/2

cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]=[cosa+cosb]/2

然后把右边式子的/2移到左边去，把a用字母α，b用字母β代替

两角和差公式推导：sinA+sinB=sin[(A+B)/2+(A-B)//2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]=(sinxcosy+cosxsiny)+(sinxcosy-cosxsiny)=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]。

两角和差公式涵盖两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式全部在此公式基础上变形得到的。将前两式相除，即得对应的正切公式。在已知两条边长还有它们夹角的度数，或是两个角的度数还有一条边长，或是清楚三边长度后，使用这些法则可以计算出其他角和边。

正弦、余弦的和差化积

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

　　因为

　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

　　以上两式的左右两边分别相加,得

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

　　设 α+β=θ,α-β=φ

　　既然如此那，

　　α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

　　把α,β的值代入,即得

　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

　　法2

　　按照欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　故此，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

口诀

　　正加正,已经在前,余加余,余并肩

　　正减正,余在前,余减余,负正弦

　　反之亦然

在百科看看吧,

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

　　∴等式成立

两角和与差的正弦余弦推导为:

以坐标原点为圆心作单位圆，并设单位圆与x轴的正半轴交于点A（1，0）。

以Ox为始边作∠xOP=α，∠xOQ=α+β，∠xOR=-β。

则点P与单位圆的交点坐标是P（cosα，sinα），OQ与单位圆的交点坐标是Q（cos(α+β)，sin(α+β)），OR与单位圆的交点坐标是R（cos(-β)，sin(-β)）。

易证△QOA≌△POR，则|QA|=|PR|，于是，得两边平方并整理，得由此得到。

在坐标轴上以原点为圆心1为半径作圆，在圆上任意确定两个点，然后将两个点的坐标通过的视角值用正弦和余弦函数标记，再将原点和这两个点共三点连接成三角形，然后将两点距离用坐标距离公式写出，再将两点距离用三角形余弦定理公式写出，就可以建立方程等式，然后就可以得出两角差的余弦公式

正弦、余弦的和差化积公式

指高中数学三角函数部分的一组恒等式

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】　 　

　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设 α+β=θ，α-β=φ

既然如此那，

α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

法2

按照欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

故此，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立

须知

在应用和差化积时，一定要是一次同名三角函数才可以实行。若是异名，一定要用诱导公式化为同名；若是高次函数，一定要用降幂公式降为一次

sin(a+b)=sin a*cos b + sin b*cos a,(1)

cos(a+b)=cos a*cos b - sin a*sin b, (2)

令 a=b，由（1）式，得到 sin(2a)=2*sin a*cos a.那就是正弦函数的二倍角公式；

由（2）式，得到 cos(2a)=(cos a)^2 - (sin a)^2 = 2*(cos a)^2 -1 = 1-2*(sin a)^2

那就是余弦函数的二倍角公式；

.（1）式除以（2）式，得到正切函数的和角公式

tan(a+b)=(tan a +tan b)/(1 - tan a*tan b)， （3）

令 a=b，由（3）式，得到 tan(2a)=(2*tan a)/[1-(tan a)^2].

那就是正切弦函数的二倍角公式。

切割化弦公式

其实就是常说的普通的正割余割或者正切余切转化成正弦余弦的公式。

比如：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx secA=1/cosA csc=1/sinA

切割化弦这是一种处理三角问题的方式，就是在处理有关正切、余切的三角函数问题时将正切表示为正弦与余弦的比，将余切表示为余弦和正弦的比。因为正弦和余弦的性质是我们熟悉的，故此，在这样转化后面问题一般可以取得处理。