斐波那契数列的，波菲纳契定律

斐波那契数列指的是这样一个数列：

0.1.1.2.3.5.8.13.21.34.......这个数列从第3项启动，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的定义者是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖作为例子子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以请看下方具体内容被以递推的方式定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都拥有直接的应用，针对这个问题，美国数学会出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于针对刊载这方面的研究成果。

斐波那契数列规律：1.这个数列从第三项启动，每一项都等于前两项之和。2.从第二项启动，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，奇数项和偶数项是指项数的奇偶。3.斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2）的其他性质。

斐波纳契理论是Leonardo Fibonacci发现的数字逻辑推论，即每一个随后的数据是前两个数字的总和：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144等等。

斐波那契数列是指这样一个数列，{1,1,2,3,5,8,13,21.....}，它的首项为1，第2项也为1，且从第3项起，每一项都等于它前两项之和。用符号定义请看下方具体内容：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n=2，n∈N*）；如：8=3+5（第6项=第4项+第5项）。

即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大约是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘请任职为外交领事，派驻地址位置基本上等同于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因为这个原因得以在一个阿拉伯老师的详细指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

这个数列从第三项启动，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

【该数列有不少奇妙的属性】

例如：随着数列项数的增多，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

还有一项性质，从第二项启动，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

假设你看到有这样一个试题：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？实际上就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，其实前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，大多数情况下人不容易注意到。

假设任意挑两个数为开始，例如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交叉替换相差某个值。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中全部不包含相邻正整数的子集个数。

【斐波那契数列别名】

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖作为例子子而引入，故又称为“兔子数列”。

斐波那契数列

大多数情况下来说，兔子在出生60天后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。假设全部兔都不死，既然如此那，一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第30天小兔子没有繁殖能力，故此，还是一对；

60天后，生下一对小兔民数共有两对；

90天以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，故此，一共是三对；

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

经过月数：0123456789101112

兔子对数：1123581321345589144233

表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列相关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）

【斐波那挈数列通项公式的推导】

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

假设设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。既然如此那，这句话可以写成请看下方具体内容形式：

F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

明显这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方式一：利用特点方程

线性递推数列的特点方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2

C1*X1^2 + C2*X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

通项公式的推导方式二：普通方式

设常数r,s

让F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

以上n-2个式子相乘，得：

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

既然如此那，：

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

“斐波那契数列”的读音是fěi bō nà qì shù liè拼音：fěi bō nà qì shù liè 别 称：黄金分割数列、兔子数列提出者：意大利数学家 列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是 比萨。他被人称作“比萨的 列昂纳多”。 定义：“斐波那契数列”是这个数列从第3项启动，每一项都等于前两项之和。“斐波那契数列”完全是自然数的数列，通项公式反而用 无理数来表达的。而且，当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。

斐波那契数，亦称之为斐波那契数列，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，斐波那契数列由0和1启动，后面的斐波那契数列系数由以前的两数相加得出；斐波那契数列的发现者是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，他生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项启动，每一项都等于前两项之和。 二、应用：一般在很小一部分股票中不是太准确，一般在指数上有用。当市场行情处于重要重要变盘时间区域时，这些数字可来终确定详细的变盘时间。使用斐波那契数列时可以由市场中某个重要的阶段变盘点向未来市场推测预计，到达时间时市场出现方向变化的可能性很大。