变限积分求导公式是什么，变上限积分的求导公式推导

上限为a(x),下限为b(x)y=(a(x),b(x))∫f(t)dt已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)（观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了）故此，y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]两边求导y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)

扩展资料：

假设上限x在区间[a,b]上任意变化，则针对每一个取定的x值，定积分有一个对应值，故此，它在[a,b]上定义了一个函数，那就是积分变限函数。

积分变限函数是一类重要的函数，它著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．其实，积分变限函数是出现新函数的重要工具，特别是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在不少场合都拥有重要的应用。

连续性

【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

导数定理

【定理二】假设函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

假设函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变化上积限积分满足：

注：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的重要，要优先集中精力的性质，掌握并熟悉此定理需要大家特别注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

原函数存在定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

分变上限求导公式是

1积分（下限0上限x）(积分f(x)dx,0,x)'=f(x)就是f(x)；

2积分（下限0上限g(x)）(积分f(x)dx,0,g(x))'=f(g(x)).g'(x)就是ff(g(x)).g'(x).

常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），按照映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因为这个原因这是有关x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都影响不了积分值，改用t是为了不与上限x混淆。

目前用导数定义求g'(x)，按照定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，按照的是积分的区间可加性），按照积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，让∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。

上限无穷大的变限积分，先不管上下限，先把原函数写出来，然后这个时候的原函数当变量取无穷大时就基本上等同于是取极限为一个定值。

积分下限为a，下限是g(x) 既然如此那，对这个变上限积分函数求导， 就用g(x)代替f(t)中的t， 再乘以g(x)对x求导。

即g(x) 故此，导数为f[g(x)]*g(x)这里的意思就是积分下限为a，下限是g(x)，既然如此那，对这个变上限积分函数求导，就用g(x)代替f(t)中的t，再乘以g(x)对x求导，即g(x)故此，导数为f[g(x)] *g(x)。

积分变限函数是一类重要的函数，它著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．其实，积分变限函数是出现新函数的重要工具，特别是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在不少场合都拥有重要的应用。

扩展资料

反常积分总共就分两类：

1、积分上下限无界。

2、积分区域有界，函数在边界有暇点。

针对第二类，有请看下方具体内容的计算技巧。

∫baf(x)dx∫abf(x)dx，设在(a,b]上，在a处是暇点。

limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1)limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1) ，则积分收敛。

设在[a,b)上，b处是暇点。

limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1)limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1) ，则积分收敛。

积分上限为无穷时，先计算上限为a的积分，然后对所求的积分当a趋于无穷计算极限就可以。