极坐标的微分公式，二元微分方程如何转换为极坐标方程

取极坐标曲线r=r(θ)(OA)的一个微小增量Δθ,既然如此那，可得到r(θ+Δθ)(OB),以O为圆心,r(θ)为半径作弧与r(θ+dθ)有一交点记为C,因为Δθ很小,∠OCA≈90°,AC≈rΔθ,BC≈Δr≈r(θ)Δθ,并且可以将AB间的弧近似当成线段AB,由勾股定理可得Δs≈√[r^2(θ)+r^2(θ)]Δθ,而当Δθ→0,上面说的全部约等号可以改成等号,故此，有ds=√[r^2(θ)+r^2(θ)]dθ

标

极坐标的思想就是用距离和的视角来定位，有两个参数，极径，极角，为了交流的完全一样性，有两个约定俗成的相关规定，1，r大于零，一定要取正值，当然r是可以取负值的，只不过方向会反，2.极角的主值区间在[0,2pai)上，x=rcosθ,y=x=rsinθ,r为极径，也有的写ρ，很多人写r,θ为极角，极坐标也称为圆坐标，实际上和圆心在原点，半径为r的圆的参数方程是一回事，r取的是英文radius,半径的首字母，x=acosθ,y=bsinθ称为广义极坐标，也称为椭圆坐标，变换的途中会用到雅克比(jacobi)行列式，两个字，代入搞定一切，说白了，极轴就是x轴，极垂线就是y轴，极轴和极角是两个独立的坐标参数

有公式,（1）若曲线方程为y=f(x),这当中x介于a,b当中,则先求f(x)的导函数,再求f(x)的导函数后开方在区间(a,b)上的定积分,此定积分的值就是曲线的长度

（2）若曲线方程由参数方程给出：x=x(t),y=y(t),这当中t介于a,b当中,则先求x(t)和y(t)的导函数,然后求这两个导函数的平方和开方后在区间(a,b)上的定积分,此定积分的值就是曲线的长度

曲线长度公式：

l=∫[a,b] √(x²+y²+z²)dt

曲线积分中的ds表示的是弧长元素，其实就是常说的弧微分，在上册定积分的应用一章中，利用定积分计算曲线弧长时，得到公式：ds＝√[(dx)^2+(dy)^2]，当曲线方程是直角坐标方程、参数方程、极坐标方程时，ds有不一样的表达式，按照这些不一样的表达式，确定出对应的积分上下限就可以.

当曲线方程是参数x＝ф(t))，y＝φ(t)时，ds＝√[(ф'(t))^2＋(φ'(t))^2]dt

设P点坐标(a,b)， 曲线由参数方程x=x(t),y=y(t)给出， 则曲线上一点到P点距离为： L(t)=[(x(t)-a)^2+(y(t)-b)^2]^(1/2) 为了让L(t)小，只要L(t)=0，从该式，解出t=t0，代入则L(t0)即为所求极小。

用点到直线的距离公式，将点坐标和直线的方程代入，然后求导，设导数=0完全就能够得出来了。

直角坐标下的拉普拉斯方程为：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0

极坐标下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0

下面的极坐标下的拉普拉斯方程是咋推导出的呢？

f是函数，ə是求偏导符号

直角坐标下的拉普拉斯方程为：(ə²/əx²)+(ə²/əy²)f=0

极坐标下的拉普拉斯方程：(ə²/ər²)+(1/r)(ə/ər)+(1/r²)(ə²/ə²θ)f=0

用极坐标、直角坐标变换公式+拉普拉斯方程得来。

推倒过程请看下方具体内容：

uxx+uyy=0

x=ρcosα，y=ρsinα

∂u/∂ρ=∂u/∂x.∂x/∂ρ+∂u/∂y.∂y/∂ρ=ux.cosα+uy.sinα

∂²u/∂ρ²=cosα(uxx.xρ+uxy.yρ)+sinα(uyy.yρ+uyx.xρ)

=cosα(uxx.cosα+uxy.sinα)+sinα(uyy.sinα+uyx.cosα)

=uxx.cos²α+2uxy.sinαcosα+uyy.sin²α

ρ²∂²u/∂ρ²=ρ²uxx.cos²α+2ρ²uxy.sinαcosα+ρ²uyy.sin²α.....（1）

∂u/∂α=∂u/∂x.∂x/∂α+∂u/∂y.∂y/∂α=ux.（-ρsinα）+uy.ρcosα

∂²u/∂α²=（-ρsinα）（uxx.xα+uxy.yα）+ρcosα(uyx.xα+uyy.yα)-ux.（ρcosα）-uy.ρsinα

=（-ρsinα）（uxx.（-ρsinα）+uxy.ρcosα）+ρcosα(uyx.（-ρsinα）+uyy.ρcosα)-ρ[ux.cosα+uy.sinα]

=（-ρsinα）（uxx.（-ρsinα）+uxy.ρcosα）+ρcosα(uyx.（-ρsinα）+uyy.ρcosα)-ρ∂u/∂ρ

=ρ²sin²αuxx-2ρ²uxysinαcosα+ρ²uyy.cos²α-ρ∂u/∂ρ.........（2）（1）+（2）

ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²=ρ²uxx（cos²α+sin²α）+ρ²uyy.（cos²α+sin²α）+2ρ²uxy.sinαcosα-2ρ²uxysinαcosα-ρ∂u/∂ρ

=ρ²uxx+ρ²uyy-ρ∂u/∂ρ

=ρ²（uxx+uyy）-ρ∂u/∂ρ

=-ρ∂u/∂ρ

ρ²∂²u/∂ρ²+∂²u/∂α²+ρ∂u/∂ρ=0

∂²u/∂ρ²+(1/ρ²)∂²u/∂α²+(1/ρ)∂u/∂ρ=0

基本解读

一个弯曲的表面称为曲面，一般用对应的两个曲率半径来描述曲面，也就是在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就可以不一样，在液面两边就可以出现压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小相关，可表示为：

，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。

在数理方程中

拉普拉斯方程为：

，这当中∇²为拉普拉斯算子，这个方向的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为解答对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：

这当中∇²称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

假设等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：

则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子

（可在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian