焦半径公式推导过程，双曲线焦半径公式的推导过程

焦半径公式推导：|PF1|²=(x-c)²+y²=[a²(x-c)²+a²y²]/a²=[a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²]/a²；按照b²x²+a²y²=a²b²=[a²x²-2a²cx+a²c²+a²b²-b²x²]/a²=[(a²-b²)x²=2a²cx+a²(b²+c²)]/a²=[c²x²-2a²cx+a^4]/a²=(a²-cx)²/a²，故此，PF1=(a²-cx)/a=a-(c/a)x=a-ex。

连结圆锥曲线（涵盖椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。抛物线y2=2px(p0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2

双曲线焦半径公式的推导过程：以双曲线作为例子：

双曲线x方/a方-y方/b方=1(a0，b0）的交点分别是F1(-C，0F2）(C，0），离心率为e，P(x0，y0）是双曲线上任一点。求证若点P在双曲线的右支上，则PF1的绝对值=ex0+a。PF2的绝对值=ex0-a。若点P在双曲线的左支上，则PF1的绝对值=-a-ex0。PF2的绝对值=a-ex0。这个是双曲线的焦半径公式。

焦半径公式推导是运用圆锥曲线第二定义推出，即焦半径PF＝ed（d是动点p到对应准线距离）以椭圆右焦点作为例子。pF＝e〈a＾2／C一X。）＝a一eX。（X。是P横坐标）因为X。∈[－a，＋a]故此，PF∈[a一C，a＋C]

椭圆

焦半径公式

设M（m，n）是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（ab0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，既然如此那，(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a-em，这当中e是离心率。

推导：r₁/∣MN1∣=r₂/∣MN2∣=e

可得：r1=e∣MN1∣=e（a^2/c+m）=a+em，r2=e∣MN2∣=e（a^2/c-m）=a-em。

故此，：∣MF1∣=a+em，∣MF2∣=a-em

高中数学剖析解读几何：椭圆的焦半径

双曲线

双曲线的焦半径及其应用：

1：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。

总说：│PF1│=|(ex+a)|；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x来说）

详细：

点P(x,y)在右支上

│PF1│=ex+a；│PF2│=ex-a

点P(x,y)在左支上

│PF1│=-(ex+a)；│PF2│=-(ex-a)

抛物线

抛物线的焦半径公式

抛物线r=x+p/2

通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦。

双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c

a²－b²=c²

抛物线的通径是2p

抛物线y^2=2px(p0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2。

按照抛物线

抛物线上任意一点到焦点的距离(即焦半径)，

等于该点到准线的距离。

设抛物线的标准方程为y²=2px (p＞0)，

M(x0，y0)是抛物线上任意一点，

过M作MM1⊥抛物线的准线于M1。

按照抛物线的定义，

|MF|=|MM1|=x0+p/2

椭圆的焦半径公式推导：设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（ab0）的一点，r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，既然如此那，(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，这当中e是离心率。

推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。

椭圆上的任意一点到焦点 F 的长称针对这个问题曲线上该点的焦半径, 按照椭圆的定义,比较容易推导出椭圆的焦半径公式。

拓展资料：连结圆锥曲线（涵盖椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

大多数情况下情况下的焦半径公式,及推导

1.椭圆的焦半径公式

设M（xo，y0）是椭圆x2/a2+ y2/b2=1（ab0）的一点，r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，既然如此那，(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，这当中e是离心率。 推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 同理：∣MF1∣= a+ey0，∣MF2∣= a-ey0。

2.双曲线的焦半径公式

当点P在双曲线右支时的焦半径公式,(这当中F1为左焦点,F2为右焦点)它是由第二定义导出的,这当中a是实半轴长,e是离心率,x。是P点的横坐标.|PF2|=ex。- a 并且只记右支,左支和右支只差一个负号. 若焦点在y轴同理只记上支 双曲线过右焦点的半径r=|a－ex| 双曲线过左焦点的半径r=|a＋ex|

3.抛物线的焦半径公式

抛物线r=x+p/2/CA 通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦 双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c 抛物线的通径是2p 抛物线y^2=2px (p0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2