方差与期望的关系是怎样的，期望收益率方差标准差协方差与相关系数

方差与希望的关系请看下方具体内容：

方差是衡量源数据和希望值相差的度量值。

方差（variance)是在可能性论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。可能性论中方差用来度量随机变量和其数学希望（即均值）当中的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与我们全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在不少实质上问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与整体均数当中的差异。为不要产生离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采取平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

在可能性论和统计学中，数学希望(mean)（或均值，亦简称希望）是试验中每一次可能结果的可能性乘以结果的总和。是基本的数学特点之一。它反映随机变量平均取值的大小。

需要大家特别注意的是，希望值不是说肯定基本上相当于常识中的“希望”-“希望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，希望值是该变量输出值的平均数。希望值不是说肯定包含于变量的输出值集合里。）

希望收益率计算公式：

HPR=（期末价格 -期初价格+现金股息）/期初价格

例子：A股票过去三年的收益率为3%、5%、4%，B股票在下一年有百分之30的可能性收益率为百分之10，百分之40的可能性收益率为5%，另百分之30的可能性收益率为8%。计算A、B两只股票下一年的预期收益率。

解:

A股票的预期收益率 ＝（3%＋5%＋4%）/3 ＝ 4% 

B股票的预期收益率 ＝百分之10×百分之30＋5%×百分之40＋8%×百分之30 ＝ 7.4%

方差计算公式：

例子：求43,45,44,42,41,43的方差。

解：平均数=（43+45+44+42+41+43）/6=43

S^2=【(43-43)^2+(45-43)^2+(44-43)^2+(42-43)^2+(41-43)^2+(43-43)^2】/6=（0+4+1+1+4+0）/6=10/6

协方差计算公式：

例子：Xi 1.1 1.9 3，Yi 5.0 10.4 14.6

解：E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02

4、有关系数计算公式

解：由上面的解题可求X、Y的有关系数为

r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93) = 0.9979

正态分布的希望和方差：求希望：ξ，希望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn。方差；s²，方差公式：s²=1/n[(x1-x)²+(x2-x)²+……+(xn-x)²]（x上有“-”）。方差是在可能性论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

可能性论中方差用来度量随机变量和其数学希望（即均值）当中的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与我们全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。

方差的定义

方差在我们的平日生活当中很常见，它主要是为了提供样本离群程度的描述。举个简单的例子，我们去买一包薯片，大多数情况下来说一袋薯片当中的数量是固定的。我们假设平均每袋当中都拥有50片薯片好了，就算是机器灌装，也不可能做到每一袋都刚好是50片，多多少少都会有部分误差。而均值则没办法衡量这样的误差。

假设目前有两个薯片品牌，它们的口味都差很少，平均每袋也都是50片。但是，这当中A品牌的薯片有一半是80片，还有一半是20片。B品牌呢，99%都在45-55当中。你说你会买哪一个牌子呢？(在不考虑通过称重的情况下)。

在现代社会，凡是工厂出厂的产品，差不多都是不可能脱离方差这个概念。方差越低，说明工厂的生产能力越强，可以做到每一个产品都很精细，相反假设方差越大，则说明瑕疵不少，不够精细。其实就是常说的说，方差衡量的是样本距离均值的希望。

它本来应该写成：E|X - E(X)|。

但是，因为式子当中存在绝对值，我们一般会对它平方，以此将绝对值消掉。写成：



这里的E表示希望，这是统计学当中的写法，假设看不明白，我们也可把式子展开写成：



这里的N表示的是样本数量，X bar 是样本的均值。Var是英文variance的缩写，我们也可写成D(X)。

因为方差是通过平方计算得到的，我们也可将它进行开方，得到标准差。根号D(X)，也可写成σ(X)。

方差的性质

有关方差有哪些著名的性质，假设X是变量，而C是常数。既然如此那，：



其实就是常说的针对每一个变量都乘上一个常数，既然如此那，整体的方差扩大C的平方倍。这个很好理解，因为样本值扩大了C倍，因为我们在计算方差时用到了平方，既然如此那，自然就是扩大了C的平方倍。我们利用上面展开的公式代入可以比较容易得到证明。

下一个性质是：



其实就是常说的我们全体样本加上一个常数，整体的方差不变。假设我们的样本不是一个值，而是一个向量，既然如此那，这个公式可以拓展成样本加上一个常数向量，样本的方差保持不变。这个也很好理解，样本加上一个常数向量，基本上等同于整体朝着向量的方向移动了一个距离，针对整体的分布依然不会影响。

假设某个样本X的方差为0，既然如此那，说明样本内唯有一个值。

下面一个性质稍微复杂一点：



其实就是常说的说方差等于样本平方的希望减去样本希望的平方，我们光从定义上超级难得出这个结论，需通过严谨的推导：



在有部分时候，我们直接解答样本的方差不太方便，而解答平方的希望比较容易，这时我们可以考虑使用这个公式进行代换。

方差与协方差

方差我们大多数情况下不直接在机器学习当中进行使用，更多时是用在特点分析当中，查看特点的方差来感知它的离散情况，决定要不要对特点进行一部分处理。因为针对一部分模型来说，假设特点的方差过大，既然如此那，模型可能超级难收敛，或者是收敛的效果可能会受到影响。这时时常需考虑使用一部分方式对特点值进行标准化处理。

除了方差之外，还有一个类似的概念也常常被用到，就是用来衡量两个变量当中有关性的协方差。

协方差的公式实际上和方差也有脱不开的关系，我们先来简单推导一下。

第一，我们来看看D(X+Y)，这里X和Y是两个变量，D(X+Y)就表示X+Y的方差，我们来看下D(X+Y)和D(X)和D(Y)当中的关系。

我们可以来推导一下，按照方差的定义：



这里的N是一个常量，我们可以忽视，只用来看分子就可以。我们把式子展开：



我们看下上面化简后面的结果：



在这个式子当中D(X)， D(Y)都是固定的，依然不会随XY是不是有关而出现变化。但是，后面一项不是，它和XY的有关性相关。

我们可以用这一项来反应X和Y当中的有关性，那就是协方差的公式：



故此，协方差反应的不是变量的离散和分布情况，而是两个变量当中的有关性。到这里，我们可能还不太看得了解，没相关系，我们再对它做一个简单的变形，将它除以两者的标准差：



这个形式已经很像是两个向量夹角的余弦值，它就是大名鼎鼎的皮尔逊值。皮尔逊值和余弦值类似，可以反映两个分布当中的有关性，假设p值大于0，说明两组变量成正有关，不然则成负有关。我们可以通过计算证明p值是一个位于-1到1当中的数。

假设p值等于0，说明X和Y完全独立，没有任何有关性。假设p值等于1，说明可以找到对应的系数W和b让Y = WX+b。