三角积分换元公式，第二类换元法口诀是什么

若被积函数包含根式√(a²-x²) 常作替换x=asint或x=acost

若被积函数包含根式√(x²+a²) 常作替换x=atant或x=acott

若被积函数包含根式√(x²-a²) 常作替换x=asect或x=acsct

通俗一点 第一类换元法 就是把积分式子里的某一项塞到d()里面去 进一步积分

第二类换元法 是设x=ψ(t) 然后把dx换成dt 第二类积分常见的就是三角换元 不少有关x的多次分式都依靠这个处理

一类换元积分法也称凑微分法，适用于两个式子相乘的形式是复合函数求导的逆运算。

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法一般分为两类：

第一类换元法：

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

假设u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么按照复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ(x)dx。

以此按照不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，其实就是常说的将积分变量x换成u；后是求原函数，其实就是∫f[φ(x)]φ(x)dx不好求。

而∫f(u)du好求，故此，先得出后一个不定积分；后再将变量u换成x。当熟练掌握并熟悉这一方式后，可以没有必要引入变量u。

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可以当作变量x的微分来对待，以此微分来对待。

以此微分等式φ(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一试题中已经这样用了，那里把积分∫F(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F(x)dx=dF(x)，把被积表达式F(x)dx。记作dF(x)

设要求∫g(x)dx，假设函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ(x)的形式，既然如此那，：

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，假设能求得f(u)的原函数，既然如此那，也就得到了g(x)的原函数。

第二类换元法：

上面讲解的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ(x)dx化为积分∫f(u)du。

下面将讲解的第二类换元法是，一定程度上地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ(t)dt。

这公式的成立是需一定条件的，第一，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ(t)dt得出后一定要用x=φ(t)的反函数t=φ^(-1)(x)代回去。

为了保证这反函数存在而且，是可导的，我们假定直接函数x=φ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是枯燥乏味的，可导的，并且φ(t)=0。

归纳上面说的，给出下面的定理：

定理2 设x=φ(t)是枯燥乏味的，可导的函数，并且φ(t)≠0.又设f[φ(t)]φ(t)具有原函数，则有换元公式。

∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。

这当中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函数。

注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是因为积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ(t)dt。重要是：如何选择变量替换。



扩展资料：

不定积分的4种积分方式：

1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方式。要求：熟练掌握并熟悉基本积分公式。针对复杂式子可以故将他分为两个部分，对复杂部分求导，结果与简单部分比较。

2、换元法：涵盖整体换元，部分换元。还可分三角函数换元，指数换元，对数换元，倒数换元等等。须灵活运用。注意：dx须求导。

3、分部积分法：利用两个相乘函数的微分公式，将想求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。注意：对u和v要一定程度上选择。

4、有理函数积分法：

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式的除法就可以清楚的知道，假分式还是能够化为一个多项式与一个真分式之和

定积分换元主要为了在计算被积函数的原函数时方便，换元就是把这当中复杂的项用另外个其他的字母所代替，换元时有3个部分需换，一:积分区间，就是在被积分涵数中你所用字母代替的项，比如你想积的函数是x的，在换元时把复杂的项用t来表示，然后得出x的多项式即用t的式子来表示x，这是为求第3个步骤的dx中的x准备，然后把x的范围其实就是常说的积分区间的上下线得出各自所对应的t值作为新的上下线。

第二部:得出新的积分函数，即用t所表示原来的函数，第3个步骤:即是在第一部所提到的求dx中的x用t表示，然后对这个式子求导就可以，本来想给你说个例题来讲，可是不清楚怎么输入，不明白就再问我！

换元充要条件是原函数枯燥乏味可导，且不要忘记计算完后回代

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法一般分为两类：

第一类换元法：

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

假设u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么按照复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ(x)dx。

以此按照不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，其实就是常说的将积分变量x换成u；后是求原函数，其实就是∫f[φ(x)]φ(x)dx不好求。

而∫f(u)du好求，故此，先得出后一个不定积分；后再将变量u换成x。当熟练掌握并熟悉这一方式后，可以没有必要引入变量u。

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可以当作变量x的微分来对待，以此微分来对待。

以此微分等式φ(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一试题中已经这样用了，那里把积分∫F(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F(x)dx=dF(x)，把被积表达式F(x)dx。记作dF(x)

设要求∫g(x)dx，假设函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ(x)的形式，既然如此那，：

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，假设能求得f(u)的原函数，既然如此那，也就得到了g(x)的原函数。

第二类换元法：

上面讲解的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ(x)dx化为积分∫f(u)du。

下面将讲解的第二类换元法是，一定程度上地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ(t)dt。

这公式的成立是需一定条件的，第一，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ(t)dt得出后一定要用x=φ(t)的反函数t=φ^(-1)(x)代回去。

为了保证这反函数存在而且，是可导的，我们假定直接函数x=φ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是枯燥乏味的，可导的，并且φ(t)=0。

归纳上面说的，给出下面的定理：

定理2 设x=φ(t)是枯燥乏味的，可导的函数，并且φ(t)≠0.又设f[φ(t)]φ(t)具有原函数，则有换元公式。

∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。

这当中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函数。

注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是因为积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ(t)dt。重要是：如何选择变量替换。

1、高等数学中常见的三角函数有六个：sinx，cosx，tanx，cscx，secx，cotx。这当中除了sinx和cosx外，其它四个函数的不定积分都不是可以比较容易得出的。本节我们利用第一类换元法来推导其它四个三角函数的不定积分公式，这当中须要用到这些三角函数的导数公式，还有一部分经常会用到的三角恒等式，比如倍角公式等。本节来推导除sinx和cosx以外的四个经常会用到的三角函数的积分公式。

2、tanx和cotx的积分公式的推导。

3、cscx的积分公式的推导。

4、secx的积分公式的推导。

5、三角函数的导数与积分公式总结。

换元积分法是求积分的一种方式是由链式法则和微积分基本定理推导而来的，而分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方式，下面就来讲解一下换元法和积分法里需要大家特别注意的问题：

1、当积分表达式中含有根式，分式等形式时，能用到换元法进行积分，考试试卷中大多数情况下会指定表达式中的某一些作为替换的部分。在利用换元法做定积分试题时一定要注意修改对应的定积分上下限。

2、当我们碰见2个部分函数相乘的形式作为被积函数，可以考虑使用分部积分的方式。注意选择适合的部分作为公式的u，另一些即为dv/dx，这点也需多加注意。

3、定积分的换元积分法要记得积分上下限的改变，若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．故此，需先用换元法。