常微分一元齐次方程的通解公式二阶两元齐次常微分方程的通解公式

齐次微分方程的通解公式是：y'=f（y/x），这当中 f 是已知的连续方程。解答齐次微分方程的重点是作变换u=y/x，即y=ux ，它可以把方程转换为有关u与x的可分离变量的方程，这个时候有y'=u+xu'，代入原方程就可以得可分离变量的方程u+xu'=f（u） ，分离变量并积分就可以得到结果，需要大家特别注意的是，后应把 u=y/x代入，并作必要的变形。

1.二阶常系数齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式:y”+py’+qy=0,特点方程r2+pr+q=0

特点方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

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2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方式:

（1） f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特点方程的根,是特点方程的单根或特点方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数

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2.2.（2）f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特点方程的根或是特点方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

1）特点方程为r²-5r+6=0, 即(r-2)(r-3)=0, 得r=2, 3

设特解y*=a, 代入方程得：6a=7, 得a=7/6

故通解y=C1e^(2x)+C2e^(3x)+7/6

2) 特点方程为2r²+r-1=0, 即(2r-1)(r+1)=0, 得r=1/2, -1

设特解y*=ae^x, 代入方程得：

2a+a-a=2, 得a=1

因为这个原因通解y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x

针对一阶齐次线性微分方程：

dy/ dx + P(x)y =0

其通解形式为：