海伦公式推导，海伦公式的几何证明

证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形.[负号[-"从a左则向右经过a.b.c".负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单.还设个什么l=(a+b=c)/2啊.多此一举!)

证明:设边c上的高为 h.则有

√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c

√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)

两边平方.化简得:

2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2

两边平方.化简得:

h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))

SΔABC=ch/2

=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2

仔细化简一下.得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

用三角函数证明!

证明:

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)

∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)

∴代入(1)式.(仔细)化简得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

海伦公式用几何证明确实令人信服，但依我私见还可把一个三角形面积分成三个三角形之和来解决，这样既得到了三角形的面积公式，又得到了三角形恒等式：在△ABC中，有

Sin2A + Sin2B +Sin2C = 4SinA·SinA·SinA

故Sin（3π/7）+ Sin（2π/7）- Sin（π/7）= 7开根号的一半

需要说明的是海伦公式可证勾股定理，而用勾股定理去代入证明海伦公式似不恰当，也就是我们常说的勾股定理是余弦定理的特例，用勾股定理推广到余弦定理只能是零分。

海伦公式：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，则

，其中p＝(a＋b＋c)/2.

海伦公式：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，则

，其中p＝(a＋b＋c)/2.

海伦公式：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，则

，其中p＝(a＋b＋c)/2.

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)证明：设边c上的高为 h,则有√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)两边平方，化简得：2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2两边平方，化简得：h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2)

)SΔABC=ch/2=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/

2仔细化简一下，得：SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/

4用三角函数证明！证明：SΔABC=absinC/2=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)∴代入（1）式，（仔细）化简得：SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

海伦定理表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

海伦定理意义：海伦定理的提出为计算三角形和多边形的面积提供了一种新的方法和思路。当已知三角形的长度而不知道三角形的高度时，海伦公式可以更快速、更容易地计算出三角形的面积。例如，测量土地面积时，不必测量三角形的高度，而只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

海伦定理运用在数学几何上。一般来讲仅用四边长无法表达某个四边形面积（某些特例除外），必须添加某些条件，比如角、对角线等。

扩展资料：

海伦定理的发展历史：

这个定理是由古希腊数学家阿基米德推导出来的，但它通常以古希腊数学家海伦的名字命名。这个公式被称为海伦公式，因为它首先出现在海伦的《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”。虽然它在形式上不同于海伦定理，但它完全等同于海伦定理。它填补了中国数学史上的一个空白，由此可以看出中国古代数学水平很高

海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。 表达式为：它的特点是形式漂亮，便于记忆。 相传这个公式早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

中文名

海伦公式

外文名

Heron's formula

别称

三斜求积术

表达式

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

提出者

阿基米德

应用学科

数学几何

适用领域范围

三角计算