数量关系中隐藏的整除小技巧

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数量关系题目中有一种万能方法—列方程，但是大家在考试中会发现方程设列解答的过程很浪费时间，那么今天我们一同来看一个能够替代方程法的解题技巧——比较构造。

数量关系中，整除思想的常规运用其实大家并不陌生，比如：文字直接描述整除：题干中出现“平均”、“每”、“倍”、“除尽”等;数据体现整除：题干中出现了分数、百分数、比例等数据。除了这些简单的整除以外，其实还有一些隐藏在题目里不易被大家发现的整除关系，接下来，我们一起来看看这些整除是怎样隐藏在数量关系里的呢?那么我们如果快速判别呢?

一、题目中等量关系出现M=A*B

M=A×B这个等式，A、B都是M的一个因素，若A为3或者能被3整除，那么M一定能被3整除。但是大家要注意一点，2、5、4、8……这些数字不能用于这种类型的整除，因为任何数都能被其除尽，371113……这些数字只有整除没有除尽。

1.某剧院有33排座位，后一排比前一排多3个座位，后一排有135个座位。这个剧院一共有( )个座位。

A.2784 B.2871 C.2820 D.2697

【答案】B

【解析】根据题目中所描述的“有33排座位，后一排比前一排多3个座位，后一排有135个座位”，可判定该题考察的知识点为等差数列求和，关于等差数列求和公式有：S_n=[(a₁+a_n)×n]/2和S_n=na1+n(n-1)d/2两个基本公式,我们观察第一个公式S_n=[(a₁+a_n)×n]/2，形式等同于M=A×B，那我们能想到整除，并且题目中n=33，且33不能与2相约，所以Sn一定能被33整除，33=3×11，3和11互质，所以Sn既能被3整除又能被11整除，所以答案只有B选项满足。

二、行程问题中整除思想的运用

行程问题在数量关系中一般属于难度较大的题型，难度体现两个维度：一个是变化方式多，毫无头绪;另一个是运算难度大，没时间。其实大家不难发现，行程问题涉及的的一个公式S=V×T，这个形式就是M=A×B，那么我们能想到的快速排除的方法就是整除。

2.小陈从家去体育馆参加比赛，先以每分钟50米的速度走了4分钟，发现这样走下去，就要迟到6分钟，后来他改变速度，每分钟走65米，结果提前3分钟到达，问小陈家离体育馆多少米?()

A.2500 B.2350 C.2200 D.2150

【答案】D

【解析】

如图所示，A表示小陈家，B表示体育馆，C表示以每分钟50米的速度走了4分钟到达的位置，这道题是行程问题，S==V×T，终问题问的是AB的距离，根据题目条2件所画行程图如图所示，AC=50×4=200，BC=65×T,答案的AB=AC+BC=200+65T，因为65=13×5，5所以BC一定能被13整除，所以AB-AC能被13整除，所以用选项答案减去200的差能被13整除去排除错误选项，所以答案只能是D。

3. 张老汉驾驶拖拉机从家开往农场，要行4600米，开始以每小时20千米速度行驶，途中拖拉机出现故障，维修用时6分钟。因为要按原计划时间到达农场，修好拖拉机后必须以每小时45千米速度行驶。则拖拉机是在距离张老汉的家( )米远处出现故障的。

A.1200 B.1000 C.800 D.600

【答案】B

【解析】

A表示张老汉家，B表示农场，C表示故障发生位置，根据题目条件得AB=4600,BC=45×T，45=5×9，所以BC能被9整除，问题所求为AC段路程，所求量与已知条件能构成等量关系：AB=AC+BC，整除体现在BC上，所以BC=AB-AC，所以4600-答案能被9整除，所以答案选B。

整除思想隐藏在数学的各个角落，大家在做题的时候要有一双善于发现整除的眼睛，大家要谨记，整除思想只能排除错误选项，不能筛选正确选项，如果错误选项排除完了，那剩下的一定是正确选项，若只能排除部分错误选项，那大家选择正确选项的机率会大大提高。

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