华氏公式点火公式推导，瓦里斯公式求定积分

1、 点火公式大多数情况下指Wallis公式，Wallis（华里士）公式是有关圆周率的无穷乘积的公式，但Wallis公式中唯有乘除运算，连开方都不用，形式上十分简单。

2、虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响，但是，在导出Stirling公式中能够有一个重要作用

W a l l i s Wallis Wallis公式(点火公式)：

I n = ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x = ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x = { ( n − 1 ) ! ! n ! ! × π 2 , n 为 正 偶 数 ( n − 1 ) ! ! n ! ! × 1 , n 为 大 于 1 的 奇 数 I_n=\\large\\int_{0}^\\frac{\\pi}{2}(sin^nx)dx=\\large\\int_{0}^\\frac{\\pi}{2}(cos^nx)dx\\\\=

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(n−1)!!n!!×π2,n为正偶数(n−1)!!n!!×1 ,n为大于1的奇数

{(n−1)!!n!!×π2,n为正偶数(n−1)!!n!!×1 ,n为大于1的奇数

I

n

=∫

0

2

π

(sin

n

x)dx=∫

0

2

π

(cos

n

x)dx

=

⎩

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎧

n!!

(n−1)!!

×

2

π

,n为正偶数

n!!

(n−1)!!

×1 ,n为大于1的奇数

非常地： n = 1 时 → ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x = ∫ 0 π 2 ( c o s n x ) d x = 1 n=1时\☆ightarrow \\large\\int_{0}^\\frac{\\pi}{2}(sin^nx)dx=\\large\\int_{0}^\\frac{\\pi}{2}(cos^nx)dx=1 n=1时→∫

0

2

π

(sin

n

x)dx=∫

0

2

π

(cos

n

x)dx=1

推广：

∫ 0 π ( s i n n x ) d x = 2 ∫ 0 π 2 ( s i n n x ) d x \\large\\int_{0}^\\pi(sin^nx)dx=2\\large\\int_{0}^\\frac{\\pi}{2}(sin^nx)dx ∫

0

π

(sin

n

x)dx=2∫

0

2

π

(sin

n

x)dx

∫ 0 π ( c o s n x ) d x = { 0 , n 为 正 奇 数 2

瓦里斯公式是有关圆周率的无穷乘积的公式，?∫（1-2sin^2x+sin^4x)dx。 但瓦里斯公式中唯有乘除运算，连开方都不用，形式上十分简单。

虽然瓦里斯公式对π的近似计算没有直接影响，但是，在导出Stirling公式中能够有一个重要作用。

瓦里斯（Wallis）公式记忆规律：

1、n为偶时，后乘π/2；n为奇时，后乘1。

2、公式中因式每项的分子从n-1启动，每项减2，直到1；

3、公式中因式每项的分母从n启动，每项减2，直到1；

∫sin^k x dx= (k-1)!!/k!

! k为奇数 π/2 * (k-1)!!/k!! k为偶数 原始可化为 ∫（1-2sin^2 x+sin^4 x)dx 应用公式分部算出可得结果为 3π/16 积分上下限是π/2到0

1、 点火公式大多数情况下指Wallis公式，Wallis（华里士）公式是有关圆周率的无穷乘积的公式，但Wallis公式中唯有乘除运算，连开方都不用，形式上十分简单。

2、虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响，但是，在导出Stirling公式中能够有一个重要作用。

华里士发明的。

点火公式，大多数情况下指的是Wallis（华里士）公式是有关圆周率的无穷乘积的公式，但Wallis公式中唯有乘除运算，连开方都不用，形式上十分简单。虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响，但是，在导出Stirling公式中能够有一个重要作用。

你说的是华里士公式吧，也是积分公式。华里士公式又叫点火公式，点火公式大多数情况下指Wallis公式，Wallis华里士公式是有关圆周率的无穷乘积的公式，但Wallis公式中唯有乘除运算，连开方都不用，形式上十分简单。

华里士公式特点

用于提高解题速度，经常会用到于极坐标系下的积分解答一定要掌握并熟悉，点火公式使用范围，当锅炉准备投烧时，一切备好后火把对准喷嘴，开启燃料伐门当火点着调整燃烧情况，点火公式在三角函数的积分里很经常会用到，也是考研爱考的一个数学公式。

这个公式一般不会直接产生，而是要和换元法对称性等试题结合使用，在定积分的计算中也占有重要的地位，虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响，但是，在导出Stirling公式中能够有一个重要作用。

一个广义二项式定理可以推出第一类Stirling数，Lah数，和第二类Stirling数的全部EGF。

我们清楚存在关系

这当中 是无符号Lah数。既然如此那，了解了 的EGF和 的EGF后面我们就可以得出 的EGF。

针对 ，我们有

针对 ，我们有

即证 ，就有

然后即得 。

而大多数做法取得 是需用数学归纳法微分方程的，这里可以巧妙规避。

Wallis（华里士）公式是有关圆周率的无穷乘积的公式，但Wallis公式中唯有乘除运算，连开方都不用，形式上十分简单。虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响，但是，在导出Stirling公式中能够有一个重要作用。

经常会用到公式数值与推导关系

I0=π/2

I1=1

积分上下限分别是0和π/2

Stirling公式（斯特林公式）这是一条用来近似计算n的阶乘的公式。当n很大时，n的阶乘的计算量是很大的，而用斯特林公式计算量很小。假设上式成立，既然如此那，就有：我们来看一看近似的效果如何。

横坐标是n，范围1-100纵坐标二者之比 即 可以发现，当n增大时，二者之比愈来愈趋近于1，也就验证了斯特林公式的确具有很好的近似性！