高阶导数的几何意义是，为什么泰勒公式后只看高阶和低阶

一阶导数几何意义：曲线在某一点的变化率—斜率；

二阶导数几何意义-斜率的变化率，又可以用来判断曲线的凹凸性；

三阶导数几何意义-斜率的变化率的变化率；……。高阶导数是对曲线随x变化而变化的速度的大小、快慢的刻画，并随着阶数的增多，这样的刻画也就越来越精确，这一点可从泰勒公式中看出。其实，用物理中的路程、速度、加速度作类比更了解。如针对幂函数y=x,y=x^2,y=x^3,等等，所求的高阶导数都是明显不同的。

假设没有高阶无穷小既然如此那，就不可以加等号了

我举个例子ex等于

1+x/1!+x2/2!+...+xn/n!+...

ex两边求导为ex等于

0+1+x/1!+....+xn-1/n-1!+xn/n!+..

发现没有，假设没有高阶无穷小，既然如此那，求导后面就比以前少了一个xn/n!，假设无限求导可以发现ex等于0这样的错误的结论，故此，高阶无穷小不可缺乏，缺乏了就只可以说是近似，不可以说等于

由来：

f(x)在点x0处有n阶导数，我们尝试用n次多项式Pn(x)近似代替f(x)

Pn(x0)=f(x0)

Pn(x0)=f(x0)

Pn(x0)=f(x0)

......

Pn(n)(x0)=f(n)(x0) 这里表示n阶导数

于是完全就能够得出

Pn=f(x0)+f(x0)(x-x0)+1/2!f(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n

其实就是常说的说

在x0点出， Pn的i阶导数值等于f(x)的i阶导数值..i≤n

则称Pn(x)为f(x)的泰勒多项式，在x0点处近似表示f(x)

定理：

f(x)在点x0处有n阶导数,则在x0处附近f(x)可以表示为

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+1/2!f(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n+ Rn(x)

这当中Rn(x)=o((x-x0)^n),其实就是常说的(x-x0)^n的高阶无穷小，

我们称上式为f(x)在x0处得泰勒展开公式

理解：

泰勒公式就是取一个基础，然后再一定范围里面近似表示f(x)的一种方式

例如上式就是在基础x0处，范围为△x=x-x0里面近似表示f(x)

故上式代入△x=x-x0得到

f(x)=f(x0)+f(x0)△x+1/2!f(x0)△x²+...+1/n!f(n)(x0)△x^n+ o(△x^n)

非常地，当x0=0时，我们称上式为迈克劳林公式..

f(x)=f(0)+f(0)x+1/2!f(0)x²+...+1/n!f(n)(0)x^n+ o(x^n)

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关（x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!??(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!??(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!??(x-x.)^n+Rn

这当中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!??(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.当中，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）

函数的一阶导数几何意义:函数曲线在某一点的变化率—斜率，可以来判断函数的枯燥乏味性问题；二阶导数几何意义:斜率的变化率，可以用来判断函数的凹凸性；三阶导数几何意义:斜率的变化率的变化率；……。高阶导数是对曲线随自变量变化而变化的速度的大小、快慢的刻画，并随着阶数的增多，这样的刻画也就越来越精确，这一点可从泰勒公式中看出。其实，用物理中的位移、速度、加速度作类比更了解。如针对幂函数y=x,y=x^2,y=x^3,等等，所求的高阶导数都是明显不同的。☆ 高阶导数的应用主要是以下两个方面:☆ 1)用泰勒级数来逼近某个剖析解读函数。☆ 2)可以用来判断多项式函数的阶数。☆

arcsinx的泰勒公式请看下方具体内容：

泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年以前，先提出了带有余项的目前形式的泰勒定理。

扩展资料

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用有关（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方式。若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。

这当中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩下的Rn（x）是泰勒公式的余项是（x-x0）n的高阶无穷小。幂级数的求导和积分可以逐项进行，因为这个原因求和函数相对比较容易。泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

答：二元函数泰勒公式性质是：f(x,y) = f(a,b) + df(a,b)/dx[x - a] + df(a,b)/dy[y - b] + d^2f(a,b)/dx^2[x-a]^2/2 + d^2f(a,b)/dy^2[y-b]^2/2 + d^2f(a,b)/[dxdy][x-a][y-b] + h.

这当中,h为余项.

当f(x,y)2阶导数连续,x-a,y-b时,h是[(x-a)(y-b)]的高阶无穷小量.

扩展资料

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用有关（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方式。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

这当中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩下的Rn（x）是泰勒公式的余项是（x-x0）n的高阶无穷小。