焦点三角形面积大值，椭圆的焦点三角形面积公式推导

设P是椭圆上一点 ,角F1PF2=θ,焦点三角形F1PF2的面积=b² tan(θ/2)

它可由三个式子推出:

1,∣ PF1∣ + ∣PF2∣ =2a

2,余弦定理:∣PF1∣² + ∣PF2∣² -2∣PF1∣∣PF2 ∣COSθ=∣F1F2∣²

3,三角形面积公式:S=(1/2)∣PF1∣∣PF2∣Sinθ

故此， θ 越大焦点三角形面积越大,由余弦定理可证明,当 P 在短轴的顶点时 θ 大.

这个时候 ∣PF1∣=∣PF2∣.

椭圆中的焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ/2)。

分析过程请看下方具体内容：

不管椭圆方程是x²/a²+y²/b²=1还是y²/a²+x²/b²=1

焦点三角形面积公式都是：S=b²·tan(θ/2)

θ为焦点三角形的顶角。

假设是双曲线，：S=b²/tan(θ/2)

扩展资料

椭圆中的焦点三角形性质

（1）|PF1|+|PF2|=2a

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ

（3）周长=

（4）面积=

（∠F1PF2=θ）

（5）非焦距一侧的旁心在长轴上的射影是同侧端点

内切圆半径r=2S/C(S为三角形面积，C为周长) 而焦点三角形周长是定值为2(a+c)，故此，当面积大时，r大 因为底是固定的，故此，当点在短轴顶点是，面积大为bc 故此，r大取 bc/(a+c)

针对焦点△F1PF2，设∠F1PF2=θ，PF1=m，PF2=n；

则m+n=2a

在△F1PF2中，由余弦定理：

(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ

即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)

故此，mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2

故此，mn=2b^2/(1+cosθ)

扩展资料：

在椭圆中，我们一般把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形；

在椭圆的顶焦点三角形中有不少与椭圆焦点三角形相类似的几何特点，蕴涵着椭圆不少几何性质，在全国各省市地区的高中毕业考试考试试卷及高中毕业考试考试试卷中，都曾产生过以“顶焦点三角形”为载体的问题；本篇文章对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析。

三角形的面积公式：

S＝1／2PF₁PF₂sinα

＝b＾2sinα／（1－cosα）

＝b＾2cot（α／2）

设∠F₁PF₂＝α

双曲线方程为x＾2／a＾2－y＾2／b＾2＝1

因为P在双曲线上，由定义｜PF₁－PF₂｜＝2a

在焦点三角形中，由余弦定理得：

F₁F₂的平方＝PF₁平方＋PF₂平方－2PF₁PF₂cosα＝｜PF₁－PF₂｜平方＋2PF₁PF₂－2PF₁PF₂cosα

（2c）＾2＝（2a）＾2＋2PF₁PF₂－2PF₁PF₂cosαPF₁PF₂＝［（2c）＾2－（2a）＾2］／2（1－cosα）＝2b＾2／（1－cosα）。

答案：s=(mnsinθ)/2...(正弦定理的三角形面积公式=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)，椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理 在椭圆(0)中,焦点分别是、,点P是椭圆上任意一 点,,则. y F1 O F2 x P P 证明:记,由椭圆的即通过余弦定理为切入点，先算出两条焦半径的乘积，再由三角形面积公式计算得出。

△OAB的面积=P²／2Sina。

抛物线焦点三角形面积公式为：S=(p/4)(t1-t2)sinθ

1,F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ/2)（θ为焦点三角形的顶角）。

设∠F₁PF₂=α双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a在焦点三角形中，由余弦定理得F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosαPF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα) =2b^2/(1-cosα)三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα =b^2sinα/(1-cosα)=b^2cot(α/2)