除余公式同余定理公式及解释

除法运算公式：

1、被除数÷除数=商，比如：8÷4=2。

2、被除数÷商=除数，比如：8÷4=2→8÷2=4。

3、除数=被除数，比如：2×4=8。

4、带有余数的情况：被除数÷除数=商.余数（这当中，余数小于除数）⇋除数×商+余数=被除数。除法是四则运算之一。已知两个因数的积与这当中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。两个数相除又叫做两个数的比。

若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c÷b，读作c除以b（或b除c）

设物有x，可得

x≡2（mod 3）；

x≡3（mod 5）；

x≡2（mod 7）.

先看看一次同余方程的大多数情况下解法。

[公式]

[公式]

...

[公式]

第一让 [公式]

使[公式]

使[公式]{[公式]取小值}

得出[公式]，代入以下式子：

[公式]

就可以得出x的 小值

回到刚才的问题

设物有x，可得

x≡2（mod 3）；

x≡3（mod 5）；

x≡2（mod 7）.

m＝3*5*7=105

[公式]＝105，[公式]＝105，[公式]＝105

[公式] =35， [公式] =21， [公式] =15

[公式] ， [公式] {小值}

[公式] ， [公式]

[公式] ， [公式]

后

[公式]

[公式]

[公式]

穷举，得 x 的小值为23，解毕.

检验：

23[公式]3=7......2 三三数之剩二

23[公式]5=4......3 五五数之剩三

23[公式]7=3......2 七七数之剩二

新人发

解释，数论中的重要概念。给定一个正整数m，假设两个整数a和b满足a-b可以被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，既然如此那，就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系

数学上，两个整数除以同一个整数，若得一样余数，则二整数同余。

同余理论常被用于数论中。先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简单方便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。

同余定理

一、同余：

针对整数除以某个正整数的问题，假设只关心余数的情况，就出现同余的概念。

定义1用给定的正整数m分别除整数a、b，假设所得的余数相等，则称a、b对模m同余，记作a≡b(mod m)，如 56≡0 (mod 8)

定理1整数a,b对模m同余的充要条件是 a-b能被m整除（即m|a-b）。

证：设a=mq1+r1, 0=r1m； b=mq2+r2, 0=r2m.

若a≡b(mod m)，按定义1，r1=r2,于是a-b=m(q1+q2),即有m|a-b.

反之，若m|a-b,即m|m(q1-a2)+r1-r2，则m|r1-r2，但|r1-r2|m，故r1=r2,即a≡b(mod m)。

推论 a≡b(mod m)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。

表示对模m同余关系的式子叫做模m的同余式，简称同余，同余式的记号是高斯（Gauss）在1801年第一使用的。

定理2同余关系具有反身性、对称性与传递性，即

1）a≡a (mod m)；

2）若a≡b (mod m), 则b≡a (mod m)；

3）若a≡b (mod m), b≡c (mod m)，则a≡c (mod m).

定理3若a≡b(mod m), c≡d (mod m),则

1）a+c≡b+d (mod m)；

2）a-c≡b-d (mod m)；

3）ac≡bd (mod m).

多于两个的同模同余式也可以够进行加减乘运算。

针对乘法还有下面的推论：

推论 若a≡b(mod m),n为自然数，则an≡bn (mod m)。

定理4若ca≡cb(mod m), (c,m)=d, 且a,b为整数，则a≡b(mod m/d).

推论 若ca=cb(mod m), (c,m)=1,且a,b为整数，则a≡b(mod m).

定理5若a≡b (mod m),a≡b (mod n),则a≡b(mod [m,n]).

推论 若a≡b(mod mi), i=1,2,…,n，则a≡b (mod [m1,m2,..,mn]).

例子：已知23≡ 1(mod 7)，则22023≡ 23*668+1≡ (23)668*2 ≡ 2(mod 7) (该计算使用了定理3)

证：23≡ 1(mod 7)，由定律5，得23* 23≡ 1*1(mod 7)…(23)668≡ 1(mod 7),

故，(23)668*2 ≡ 2(mod 7)。

算法运用：

1.乘法取模：ab mod n = (a mod n)(b mod n) mod n

1 //1.a*b%d 2 int mul_mod(int a, int b, int d) 3 { 4 a %= n； 5 b %= n； 6 return (int)((long long)a*b%n)； 7 }

1 //2.a*b%c 2 int mul_mod(int a, int b, int c) 3 { 4 int r = 1, d = a； 5 while(b) 6 { 7 if(b1) 8 r = (r*d)%c； 9 d = (d*d)%c； 10 b = 1； 11 } 12 return r； 13 }

2.大整数取模：

1 //大整数取模 n%m 2 int big_mod(char n[], int m) 3 { 4 int len = strlen(n)； 5 long long ans=0； 6 for(int i=0； ilen； i++) 7 ans = ((long long)ans*10+n[i]-0)%m； 8 return (int)ans； 9 }

3. 幂取模

1 //1.按照定义 2 int pow_mod(int a, int n, int m) 3 { 4 long long ans=1； 5 for(int i=0； in； i++) 6 ans = (long long)ans*n%m 7 return ans； 8 }

1 //2.分治法思想 2 int pow_mod(int a, int n, int m) 3 { 4 if(n == 0) 5 return 1； 6 int x = pow_mod(a, n/2, m)； 7 long long ans = (long long)x*x%m； 8 if(n%2 == 1) 9 ans = ans*a%m； 10 return (int)ans； 11 }

定义2假设m为自然数，集合Kr={x|x=mt+r,t是任意整数}，r=0,1,…,m ，则称K0,K1,…,Km-1为模m的剩下类。

比如，模2的剩下类是偶数类与奇数类；模3的剩下类是:K0={…,-6,-3,0,3,6,…}，K1={…,-5,-2,1,4,7,…}，K2={…,-4,-1,2,5,8…}。

剩下类具有请看下方具体内容列比较明显的性质：

1）模m的剩下类K0，K1，……，Km-1都是整数的非空子集；

2）每个整数必属于且只属于一个剩下类；

3）两个整数属于同一个剩下类的充要条件是它们对模m同余。

定义3从模m的每个剩下类中任取一个数，所得到的m个数叫做模m的完全剩下系。

对模m来说，它的完全剩下系是不少的，常常采取的是：

0,1,2,…,m-1；

1,2,3,…,m；

-(m-1)/2,…,-1,0,1,…,m/2 (m为奇数)，

-m/2+1,…,-1,0,1,…,m/2 (m为偶数)，

-m/2,…,-1,0,1,…,m/2-1 (m为偶数).

定理6 k个整数a1,a2,…,ak构成模m的完全剩下系的充要条件是k=m，且这m个数对模m两两不一样余。

定理7 若x1,x2,…,xm 是模m的完全剩下系，（a,m）=1,b为整数，则ax1+b，ax2+b，…，axm+b也是模m的完全剩下系。

二、欧拉函数

定义1在模m的完全剩下系中，全部与m互素的数叫做模m的简化剩下系。比如1，3，7，9是模10的一个简化剩下系。

定义2若对任意的自然数m，用记号ф(m)表示0,1,2,…,m-1中与m互素的数的个数，则称ф(m)为欧拉函数。

比如ф(10)=4，ф(7)=6，ф(1)=1。

定理1k个整数a1,a2,…,ak构成模m简化剩下系的充要条件是k=ф(m)，(ai,m)=1,i=1,2,…, ф(m),且这ф(m)个数对模m两两不一样余。

定理2若(a,m)=1，x1,x2,…,xф(m)是模m的简化剩下系，则ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的简化剩下系。

定理3 (欧拉定理)若(a,m)=1，则aф(m)≡1 (mod m)

证：设x1,x2,…,xф(m)是模m的简化剩下系，按照定理2，ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的简化剩下系。

由此就可以清楚的知道x1,x2,…,xф(m)中任一个数必与ax1,ax2,…,axф(m)中某一个数对模m同余；

反之ax1,ax2,…,axф(m)中任一个数必与x1,x2,…,xф(m)中某一个数对模m同余，这个问题就有：

ax1ax2…axф(m)≡x1x2…xф(m)(mod m),又(x1x2…xф(m),m)=1,故此，aф(m)≡1 (mod m)。

例题一已知x=h是为了让ax≡1 (mod m)中成立的小正整数，求证h|ф(m)。

证 由ah-1=mt(t为整数)就可以清楚的知道(a,m)=1，于是

aф(m)≡1 (mod m)。

令ф(m)=hq+r,0=rh, q为自然数

代入上面的同余式，可得 ar≡1 (mod m),故此，r=0，故h|ф(m)。

推论（费马小定理）若p是素数，则 1） 当(a,p)=1时，ap-1≡1 (mod p)；

2） ap≡a (mod p)

证： 先证1)，由p是素数，知0,1,2,…,p-1中有p-1个数与p互素，于是ф(p)=p-1。又因为(a,p)=1，故此，按照定理3得证1）。

再证2)，当(a,p)=1时，由1）知2)成立；当(a,p)不等于1时，p|a，余数同为0,2)也成立。

欧拉在1760年证明了定理3，故称为欧拉定理。费马在1640年提出了上面的推论，它的证明是欧拉在1736年完成的，这个推论一般叫做费马小定理。

例题二设a为整数，求证a5≡a(mod 30).

证 因为30=2.3.5，而依据费马小定理，有

a5≡a(mod 5) (1)

a3≡a(mod 3) (2)

a2≡a(mod 2) (3)

由(2)得 a5≡a3≡a(mod 3) （4）

由(3)得a5≡a4≡a2≡a(mod 2) (5)

于是由(1).(4),(5)，并且2,3,5两两互素，故此， a5≡a(mod 30).

定理4若p是素数，则ф(pa)=pa-pa-1。 （ф(pa)的计算公式）

证 考虑模pa的完全剩下系0,1,2,…,p,…,2p,…,pa-1 (1)

(1)式中与pa不互素的数唯有p的倍数0,p,2p,…,(pa-1–1)p,这共有pa-1个，

于是(1)中与pa互素的数有pa-pa-1个，故此，ф(pa)=pa-pa-1。

定理5若(m,n)=1,则ф(mn)=ф(m)ф(n)。

推论 若正整数m1,m2,…mk两两互素，则ф(m1m2…mk)=ф(m1)ф(m2)…ф(mk).

定理6若m的标准分解式为m=p1a1p2a2…pkak,则ф(m)=p1a1-1p2a2-1…pkak-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1).

例题三设(n,10)=1,求证n101与n的末三位数一样。

证：为了证明n101-n≡0只要证明n100≡1(mod 1000).

其实由(n,125)=1,φ(125)= φ(5^3)=5^3-5^2=100，有n100≡1(mod 125)；

再由n是奇数知8|n^2-1，进一步n^100≡1(mod 8),而(125,8)=1，得证。

算法：

1.解答φ(n)

1 //直接解答欧拉函数 2 int phi(int n) 3 { 4 //返回euler(n) 5 int res=n,a=n； 6 for(int i=2；i*i=a；i++) 7 { 8 if(a%i==0) 9 { 10 res=res/i*(i-1)； //先进行除法是为了防止中间数据的溢出 11 while(a%i==0) a/=i； 12 } 13 } 14 if(a1) 15 res=res/a*(a-1)； 16 return res； 17 }

筛选法打欧拉函数表 #define Max 1000001 int euler[Max]； void Init() { for(int i=1；iMax；i++) euler[i]=i； for(int i=2；iMax；i++) if(euler[i]==i) for(int j=i；jMax；j+=i) euler[j]=euler[j]/i*(i-1)；//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 }

一、同余定理的定义：

　　　　两个整数a，b，假设他们同时对一个自然数m求余所得的余数一样，则称a，b针对模m同余。记作a≡b（mod m）。读为：a同余于b模m。在这里“≡”是同余符号。

二、同余定理的一部分性质：

针对同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。(加减乘同理）

　　　　　　　　(a+b)%c==(a%c+b%c)%c

　针对同一个除数，假设有两个整数同余，既然如此那，它们的差一定能被这个除数整除。

针对同一个除数，假设两个数同余，既然如此那，他们的乘方也还是同余。

余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期。

解释：余同取余，比如“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见，所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1 。

和同加和，比如“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，，可见，除数与余数的和一样，取此和8，被除数的表达式为210n+8 。

差同减差，比如“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，，可见，除数与余数的差一样，取此差4，被除数的表达式为210n-4 。

非常注意的是，前面的210是5、6、7的小公倍数，此即为公倍数做周期！

取模运算是求两个数相除的余数。

针对整型数a，b来说，取模公式或者求余运算的方式都是：

1.求整数商： c = [a/b]；

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第1个步骤不一样: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

当a和b正负号完全一样时，求模运算和求余运算所得的c的值完全一样，因为这个原因结果完全一样。

当正负号不完全一样时，结果明显不同。

取模就是求余数的运算，比如10除以4的余数是2，于是取模的结果就是2。

针对整型数a，b来说，取模运算的方式都是：

1.求 整数商： c = a/b；

2.计算模： r = a - c*b.

1、电脑打开Excel表格，先列好一个表格。

2、先算出第30天的余额，输入公式=收入-支出。

3、然后再输入第二个月的余额，输入公式=上个月余额+本月收入-本月支出。

4、输入公式后回车后，下拉复制公式，因为其他月都没有工资进账和支出，故此，显示的是2月份的余额

5、只要输入3月份的收入和支出，余额就可以自动调整。

一、红细胞计数

1.原理：用等渗稀释液将血液稀释一定倍数，充入血细胞计数池，计数一定体积内的红细胞，经换算得出每升血液中红细胞数量

2.操作：

1）取中号试管1支,加红细胞稱释液2.0ml

2）用清洁干燥微量吸管取末梢血10μl,擦去管外余血后加至红细胞稀释液底部,再轻吸上层清洗吸管2-3次马上混匀。

3）混匀后,用干净微量吸管将红细胞悬液充人计数池,不可以有空泡或外溢,充池后静置2-3min后计数

4）高倍镜下依次计数中央大方格内四角和正中共5个中方格内的红细胞。对压线细胞按“数上不数下、数左不数右”的原则进行计数。

3.计算：

红细胞数/L=5个中方格内红细胞数×5×10×200×106

=5个中方格内红细胞数×1010

=5个中方格内红细胞数÷100×1012

公式中：

×5 5个中方格换算成1个大方格；

×101个大方格容积为0.1μl，换算成1.0μl；

×200 血液的实质上稀释倍数应为201倍，按200是方便计算；

×106由1μl换算成1L

二、白细胞计数

1.原理：用等渗稀释液将血液稀释一定倍数，充入血细胞计数池，计数一定体积内的白细胞，经换算得出每升血液中红细胞数量。

2.方式

1）取小试管1支，加白细胞稀释液0.38ml。

2）用微量吸管准确吸取血样20μl，擦去管外多余血液，将吸管插入小试管中稀释液的底部，轻轻将血放出，并吸取上清液清洗吸管两次，混匀。

3）待红细胞完全被破坏，再次混匀后，用微量吸管吸取混匀液10μl充池，静置2-3分钟，待白细胞下沉。

4）用低倍镜计数四角大方格内的白细胞数，对压线细胞按“数上不数下、数左不数右”的原则进行计数。

3.计算：白细胞数/L =N/4×10×20×106 =N/20×109

公式中：

N 4个大方格中白细胞的总数

÷4为每个大方格（即0.1μl）内白细胞平均数

×10 1个大方格容积为0.1μl，换算为1.0μl

×20 血液稀释倍数

106由1μl换算成1L

4.一部分贫血病人血液中有核红细胞增多，会计数在白细胞总数内，应校正。

校正公式：白细胞校正数/L=M×（100/100+N）

M位未校正

细胞计数板计算公式：L=N×5×10。细胞计数板是一种经常会用到的细胞计数工具，医学上经常会用到来计数红细胞、白细胞等而得名，也经常会用到于计算一部分细菌、真菌、酵母等微生物的数量是一种常见的生物学工具。

1余数被除数/除数=商……余数正负余数绝对值加和=除数

2.同余定理哪些整数除以同一个除数，若余数一样，则这哪些整数同余。1.余数的和决定和的余数。2.余数的差决定差的余数。3.余数的积决定积的余数。4.余数的幂决定幂的余数。

3.剩下定理通用形式：一个数X，X/A……a；

在该题目中，1对2实际上也可写成1；2，或1÷2，或1/2 ，这几种表现形式都是一个意思，它们的值都差不多的，都是代表是除法关系，这当中1代表的是除数，2代表的是被除数，按照除法算式公式被除数除以除数等于商和余数的原则，可列式为

1÷2，在这个算式中，被除数1小于除数2，按照当被除数小于除数时它的余数就是被除数的原则，故此，该题目的余数是1。其实就是常说的1对2的余数是1。

1%2=1，因为被除数小于除数，余数就是被除数。故此，为1。