微分怎么计算，微分的推导公式

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在这里区间内。假设函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（这当中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）既然如此那，称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x对应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

一般把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。

求微分公式：微分=导数×dx。导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上出现一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx...微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

二阶常系数齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式:y”+py’+qy=0,特点方程r2+pr+q=0

特点方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

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2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法

大多数情况下形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方式:

（1） f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特点方程的根,是特点方程的单根或特点方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数

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2.2.（2）f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特点方程的根或是特点方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，这当中：a、b由初始条件确定。

请看下方具体内容例题

全微分方程通解公式：udx+vdy=0。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割

一阶微分方程假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答若式子可变形为y=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分解答二阶微分方程y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2. 　　1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

dx : 是x的无穷小的增量；

dy ： 是y的无穷小的增量；

dy/dx：是y对x的导数是dy对dx的微分的商，简称微商。

意义：随着x的无穷小增量，导致y无穷小的增量，这两个增量的比率。

其实就是常说的，y随x的无穷小变化所致使的相对变化率、牵连变化率。

几何意义：在原函数上任意一点x处的切线的斜率。

y ： 国内的教学，对y一往情深，对dy/dx弃如敝屣。

这样完全一边倒的教学法，就葬送了不少学生对微积分的基本悟性。

y唯一的好处就是表达简单方便，它埋葬了微商的特性，特别是解微分方程的直觉。

y×dx：就是微分，y在定义上是dy/dx，在表达形式上是一个函数y，

y×dx就是表示因为x的增量致使的y的增量的大小。

其实就是常说的(dy/dx)dx, 在形式上是f(x)dx, 在意义上是dy，

那就是导数公式与微分公式的关系

微分和增量存在以下关系：

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。增量则是指在某不短的一个时期内系统中保有数量的变化。

这三者当中的关系可用以下两个公式表示:增量=流入量-流出量；本期期末存量=上期期末存量+本期内增量。

增量是指数的变化值，即数值的变化方法和程度。增量本身也是一个数。数的变化有增多和减少两种情况。当数增多时，增量为正；当数减少时，增量为负。增多或减少的越多，增量的绝对值就越大。

如3增大到5，则3的增量为+2；3减少到1，则3的增量为-2。换句话说，增量就是变化后的数值与原数值的差。既然，数的变化有增多和减少，既然如此那，为什么数的变化值要叫作增量，而不叫作减量呢?因为，在人类的思维之中，增多代表增多，有积极向上的意义；而减少多带有消极退步的感情色彩。

故大家倾向于从增多和减少二者中，选择以增多为原型衍生出增量的概念。数据库中也经常产生增量概念。

（vi-0）/R=dQ/dt=C*d（0-vo）/dt，故此，vo=-1/（RC）∫ vdt.假设把R1和C换个位置，就成了微分电路（但输入的电压肯定是交流信号才可以通过电容）

dy=f'（x）dx

（1）d（C）=0,C为常数

（2）d（x的a次方）=ax的a-1次方dx,a为常数

（3）d（a的x次方）=a的x次方㏑a dx

（4）d（e的x次方）=e的x次方dx

（5）d（㏒aX）=（1/x㏑a）dx

（6）d（㏑x）=1/x dx

（7）d(sin x）=cos x dx

（8）d（cos x）=-sin x dx

（9）d（tan x）=sec²x dx

（10）d（cot x）=-csc²x dx

（11）d（sec x）=sec x tan x dx

（12）d（csc x）=-csc x cot x dx

（13）d（arcsin x）=（1/√1-x²）dx

（14）d（arccos x）=-（1/√1-x²）dx

（15）d（arctan x）=（1/1+x²）dx

（16）d（arccot x）=-（1/1+x²）dx