请简述如何估算e的近似值，e的x次方的泰勒展开公式

用泰勒公式，展开得e^x＝1+x+x^2/2！+…+Rn（x）。则e≈1+1+1/2！+…+1/7！≈2.718。 自然常数，为数学中一个常数是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828。 e，作为数学常数是自然对数函数的底数。有的时候，称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有一个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中重要，要优先集中精力的常数之一。

e的x次方在x0=0的泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。 泰勒公式,是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒：

布鲁克·泰勒（英语：Brook Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，逝世于伦敦是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。8世纪早期英国牛顿学派优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年（乙丑年）8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。

计算过程请看下方具体内容：

因为：e^(x)=∑(0,+∞)x^n/n!

故此，：e^(x^2)=∑(0,+∞)(x^2)^n/n!

=∑(0,+∞)(1)^n*x^(2n)/n!

假设函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

扩展资料：

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，因为多项式函数可以任意次求导，易于计算，且方便解答极值或者判断函数的性质，因为这个原因可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，针对这样的近似，一定要提供误差分析，来提供近似的可靠性

在对函数进行局部线性化处理经常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而这样的近似是比较粗糙的，而且，只在点的附近才有近似意义。

为了改善上面说的不够，让近似替代更精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式）。

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^(n+1)/(n+1)

!+o(x^(n+1))e^(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+...+(-1)^(n)x^(2n+2)/(n+1)

!+o(x^(2n+3))

因为x=0处e^x的泰勒公式为e^x=1+x+x^2/2+...，而x趋于∞时1/x趋于0，故e^(1/x)=1+(1/x)+(1/2)(1/x^2)+...，e^(1/x)-1=(1/x)+(1/2)(1/x^2)+...，而1/x^n都趋于0，故lim[e^(1/x)-1]=0。

e的x次方在x0=0的泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

回答结束。

(arctanx)=1/(1+x^2)

=∑(-x^2)^n【n从0到∞】

=∑(-1)^n·x^(2n)【n从0到∞】

两边积分，得到

arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)【n从0到∞】

泰勒公式 ：

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够光滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

公式推导：

泰勒公式在x=a处展开为

f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+(1/2!)f(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……（1）

令x=a则a0=f(a)

将（1）式两边求一阶导数，得

f(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……（2）

令x=a,得a1=f(a)

对（2）两边求导，得

f(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f(a)/2!

继续下去可得an=f(n)(a)/n!

故此，f(x)在x=a处的泰勒公式为：

f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+[f(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，以此可以进行近似计算，也可计算极限值，等等。

此外一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b当中

e是超越数。初由数列极限收敛定义的。当x→∞时，(1+1/x)^x收敛，其极限为e。

目前可按照泰勒公式，计算得e近似值为2.71828……