解一元三次方程的基本方法，怎么解一元三次方程组

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。因为用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元二次方程的标准形式（即全部一元一次方程经整理都可以得到的形式）是ax^3+bx^2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。因为用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

解题方法和技巧

一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。



1解题方法和技巧



2一元三次方程

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元二次方程的标准形式（即全部一元一次方程经整理都可以得到的形式）是ax^3+bx^2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。因为用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

3一元三次方程求根公式

公式法

若用A、B换元后，公式可简记为：

x1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

判别法

当△=(q/2)^2+(p/3)^30时，有一个实根和一对个共轭虚根；

当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，这当中两个相等；

当△=(q/2)^2+(p/3)^30时，有三个不相等的实根。

结论针对大多数情况下的一元三次方程 ,上式除以a，并设 ,则可化为请看下方具体内容形式：

(1)这当中， (1)式的根为：这当中 , 为根的判别式。

当 0 alt=\\Delta0 eeimg=1/ 时，有一个实根与两个复根；当 时，有三个实根。

当p=q=0时，有一个三重零根；当 时，三个实根中有两个相等；当 时,有三个不等实根。具体推导已知任意一元三次方程可以改写为请看下方具体内容形式：

（1） 这当中： 按照立方公式有： 变形为：

(2)若将m+n视同y，则与(1)式雷同。

令 则式(1)可表示为：

(3)由式(2)就可以清楚的知道， 一定是方程(3)的解。

则式(3)可以写成(y-m-n)与y的二次方程的积的形式。

可利用长除法取得该二次方程为 即式(3)可以写为： y另外两个解按照平方公式有： 由此y的三个根分别是：

（4）这当中， .按照 及前设 ，若mn可写成pq的表达式，则根的计算完成。

结合 可解得， 至此，结合式(4)，就可以得到三次方程的三个根。

考虑以前的恒等式 ,则可推出任意大多数情况下三次方程的三个解。

ax^3+bx^2+cx+d化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0。x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0。这当中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a。

令y=x-a1/3。则y^3+px+q=0。p=-(a1^2/3)+a2，q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3。 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有对应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺少直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的大多数情况下式新求根公式，并建立了新判别法

一元三次方程求根公式用一般的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方式只可以将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的解答公式的解法只可以用归纳思维得到，即按照一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A+B型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是得出开立方里面的主要内容，其实就是常说的用p和q表示A和B。方式请看下方具体内容：

（1）将x=A+B两边同时立才可以以得到

（2）x=(A+B)+3(AB)(A+B)

（3）因为x=A+B，故此，（2）可化为 x=(A+B)+3(AB)x，移项可得

（4）x－3(AB)x－(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x+px+q=0作比较，就可以清楚的知道

（5）－3(AB)=p,－(A+B)=q，化简得

（6）A+B=－q，AB=-(p/3)

（7）这样实际上就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以当成是一元二次方程的两个根，而(6)则是有关形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)=c/a

（10）因为型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=(-b+(b－4ac)）/(2a)

y2=(-b-(b－4ac))/(2a)

可化为

（11）y1=－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))

y2=－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))

将(9)中的A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)=c/a代入（11）可得

（12）A=－(q/2)-((q/2)+(p/3)

B=－(q/2)+((q/2)+(p/3))

（13）将A，B代入x=A+B得

（14）x=－(q/2)-((q/2)+(p/3)))+(－(q/2)+((q/2)+(p/3)))

式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要得出了这当中一个根，另两个根就容易得出了。

一元二次方程求根公式是数学代数学基本公式，它的用途是解一元二次方程。

推导过程

请看下方具体内容图

从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就可以够用根式解答一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解基本上等同于+，，这是对系数函数求平方根。

马上古希腊人和古东方人又处理了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的大多数情况下解法。

这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人处理。

他们对大多数情况下的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，这当中p = ba2，q = a3，明显它是由系数的函数开三次方所得。

同一时期，意大利人费尔拉里又解答出大多数情况下四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。