三角形的外心坐标公式，三角形各心坐标公式

外心Q（a,b)，令|QA|=|QB|=|QC|,这是经常会用到的方式。

内心W(a,b),令W到三边距离相等。这是经常会用到的方式。

重心G（a,b)，∴a=﹙x1＋x2＋x3﹚／3, b＝﹙y1＋y2＋y3﹚／3.这是公式。

垂心H（a,b)，由三角形三个顶点的（好找的）任意两个顶点，向对边引两条“高”。这2条高的交点就是垂心。谁精力旺盛时，也都想多记住一部分。事实上没用。清楚方式，完全就能够了。

若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的

设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长,G重心为,O为外心。由三角形的恒等式∵AG^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9,BG^2=(2c^2+2a^2-b^2)/9,CG^2=(2a^2+2b^2-c^2)/9,∴AG^2+BG^2+CG^2=(a^2+b^2+c^2)/3=2(s^2-4Rr-r^2)/3,AO^2+BO^2+CO^2=3R^2。

由三角形重心性质:3GO^2=AO^2+BO^2+CO^2-AG^2-BG^2-CG^29GO^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)。注意:O,G,H在一直线上。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和小.

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.

三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.

2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.

3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.

4、计算外心的重心坐标应先计算下方罗列出来的临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).

5、外心到三顶点的距离相等

三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.

3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)

直角三角形的外心是斜边的中点,重心到中点的距离是斜边中线的1/3,重心与外心的距离为10/3 顶点为(2,0) 9/根号1519

第一要设外接圆方程为（X一a）＾2十（X一b）＾2＝R＾2的形式，这当中（a，b）为圆心，R为其半径，三角形的外接圆有两种主要求法: 第一种:利用三角形ABC外心O,OA=OB=OC列出方程,解方程组就可以； 另一种:利用AB的垂直平分线方程及边BC的垂直平分线方程，后面再联立解方程组也可得出外接圆的圆心坐标及其它的半径。

内心：内心到三边的距离相等；

外心：外心到三个顶点的距离相等。

设出“心”的坐标，利用点到直线的距离公式及两点间距离公式列方程就可以。

设三角形ABC的三个顶点的坐标为：A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；C(x₃，y₃)；既然如此那，AB中点D的坐标为：((x₁+x₂)/2，(y₁+y₂)/2)；过D作AB的垂直线，此中垂线的方程为：y=-[(x₂-x₁)/(y₂-y₁)][x-(x₁+x₂)/2]+(y₁+y₂)/2........（1）；同理，AC的中点E的坐标为：((x₁+x₃)/2，(y₁+y₃)/2)；过E作AC的垂直线，此中垂线的方程为：y=-[(x₃-x₁)/(y₃-y₁)][x-(x₁+x₃)/2]+(y₁+y₃)/2..（2）（1）与（2）联立解答，其解就是三角形的外心的坐标。