什么是微分形式啊，微积分简单的公式

从我们学过的《多元微积分》中，可以提取出如下记忆的碎片：

如果 n 维欧氏空间 Rⁿ 上的 多元函数 f: Rⁿ → R，存在任意阶连续偏导，则称 f 为光滑函数。将 Rⁿ 上 的全体光滑函数，记为：C^∞。

给定任意 光滑 f ∈ C^∞，在任意一点 x = (x¹, ..., xⁿ) ∈ Rⁿ 处的 增量函数（Δx = (Δx¹, ..., Δxⁿ) ∈ Rⁿ）：

在 x 点的 附近的邻域 U 内，近似于 一个 称为 f 的（全）微分 的 线性函数：

即，有（全）微分式：

其中，o(ρ) 称为 ρ 的无穷小量，满足：

注：这里 变量 的上标，和 变量下标一样，表示变量序号而非指数。

设，e₁ = (1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1) 是 Rⁿ 的标准单位正交基，则 Δx 可以表示为：

Δx = Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n

再根据 线性函数的性质（对于任意 Δx, Δy ∈ Rⁿ, λ ∈ R）：

A(Δx + Δy) = A(Δx) + A(Δy)

A(λΔx) = λA(Δx)

有，

df = A(Δx) = A(Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n) = Δx¹A(e₁) + ... + ΔxⁿA(e_n)

当 A 确定是，A(e₁), ..., A(e_n) 都是 常数，令，K₁ = A(e₁), ..., K_n = A(e_n)，于是 f 的微分 可以改写为：

df = K₁Δx¹ + ... + K_nΔxⁿ

对于任意 Kᵢ，令 Δxʲ = 0 (j ≠ i) ，则，

|Δx| = √(Δx⋅Δx) = √(Δx¹Δx¹ + ... + ΔxⁿΔxⁿ) = √(Δxⁱ Δxⁱ ) = |Δxⁱ |

进而 从 f 的 微分式 得到：

Δf = KᵢΔxⁱ + o(|Δxⁱ |)

Kᵢ = Δf /Δxⁱ - o(|Δxⁱ |)/Δxⁱ

然后，等式两边取极限，有，

令，

则，终 f 的微分，改写为：

特别地，当 n = 1，即， f 是一元函数，时，有，

df = f' Δx

考虑 R¹ 上的 一元函数 y = x，y 的微分为，

dy = y'Δx = 1Δx = Δx

而，因为 y = x，所以，

dy = dx

于是我们得到：

终， f 的微分 改写为：

可以证明如下引理：

对于经过 x ∈ Rⁿ 点 的 任意 光滑函数 f ∈ C^∞ ，存在 一组光滑函数 gᵢ ∈ C^∞ （i = 1, ..., n） 满足：

并且，对于 x 附近邻域 U 内任意 一点 u = (u¹, ..., uⁿ) ，都有：

令 u = x + Δx，则 上面的引理，可改写为：

如果，将 dx¹, ..., dxⁿ 看做 一组基，C^∞ 中的 光滑函数 标量，则 上面的结果 表明：任意一个 x 点处 的增量函数 Δf，在 U 内可以被 dx¹, ..., dxⁿ 线性表示。

于是，以 dx¹, ..., dxⁿ 为基 以 C^∞ 中的 光滑函数 为 标量，可以张成 一个 n维线性空间，记为 V¹。它是 U 内 x 点处的 增量函数 的 全体。对于任意 ω ∈ V¹，都有：

ω = g₁dx¹ + ... + g_ndxⁿ

称为 1 次微分形式。

一般我们不去讨论 dxⁱ 本身的意义只是看做一个形式，但是如果深究，则可以考虑 下标函数：eⁱ(x) = xⁱ有，

定义 任意 微分形式 ω₁ 和 ω₂ 之间的 一种 以 ∧ 为运算符号的， 称为 外积（楔乘）的 运算：

ω₁ ∧ ω₂

满足（对于 任意 ω₁, ω₂, ω₃ ∈ V¹, g ∈ C^∞）：

结合律： (ω₁ ∧ ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ (ω₂ ∧ ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ ∧ ω₃；

与数乘可交换：(gω₁) ∧ ω₂ = g(ω₁∧ω₂) = ω₁ ∧ (gω₂) ；

分配律：(ω₁ + ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ ω₃ + ω₂ ∧ ω₃, ω₁ ∧ (ω₂ + ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ + ω₁ ∧ ω₃；

反交换律：ω₁ ∧ ω₂ = - ω₂ ∧ ω₁；

对于 任意 ω ∈ V¹，根据反交换律 有：

ω ∧ ω = - ω ∧ ω

进而，

ω ∧ ω + ω ∧ ω = 0

(1 + 1)ω ∧ ω = 0

2ω ∧ ω = 0

ω ∧ ω = 0

因此，

dxⁱ ∧ dxⁱ = 0

这样以来，对于任意 两个 1 次微分形式：

ω₁ = g¹₁dx¹ + ... + g¹_ndxⁿ

ω₂ = g²₁dx¹ + ... + g²_ndxⁿ

之间的 楔乘 为：

令，

得到：

这个称为 2 次微分形式。

类似地，通过 k 个 1次微分形式 的 楔乘，可以得到 k 次 微分形式：

将，k 次微分形式的全体，记为 V²，它是 以 C(n, k) 个：

为 基 的 C(n, k) 维 线性空间。

由于 dxⁱ ∧ dxⁱ = 0，所以，当 k = n 时，Vⁿ 的积 只有一个：

dx¹ ∧ ⋯ ∧ dxⁿ

而，当 k n 时，Vᵏ = {0}。

为了，一致性，我们令 V⁰ = C^∞，显然 1 是 V⁰ 的基，有，

1 ∧ dxⁱ = dxⁱ

而 光滑函数：

就是， 0 次 微分形式。

回到开始，观察，光滑函数 f 微分 df，对于 每一个 f ∈ V⁰，都有一个 df ∈ V¹，因此 微分其实就是， V⁰ 到 V¹ 的算子，即，

利用，这个结论，我们可以将 微分算子扩展到 d: Vᵏ → Vᵏ⁺¹，定义如下：

特别地，d(dxⁱ ) = 0，因为 dxⁱ = 1dxⁱ ，故，

d(dxⁱ )= d1∧dxⁱ = 0∧dxⁱ = 0⋅1∧dxⁱ = 0(1∧dxⁱ) = 0 dxⁱ = 0

事实上，对于任意 k 次 微分形式 ω 都有：

d(dω) = 0

这称为 庞加莱 引理。

利用，微分形式我们可以得到 斯托克斯（Stokes） 公式： 设 D 是 Rⁿ 上 一个 k ( 0 k ≤ n) 维度 区域， ∂D为 D 诱导定向的边缘，则 对于 任意 k - 1 次微分形式 ω，都有：

以下，令 x = x¹, y = x², z = x³。

当 n = 2, p = 2 时，对于 1次微分形式，

ω = P dx + Q dy

有，

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy

= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy) ∧ dy

= ∂P/∂x dx ∧ dx + ∂P/∂y dy ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂y dy ∧ dy

= 0 - ∂P/∂y dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy + 0

= (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx ∧ dy

于是，Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 格林公式。

当 n = 3， p = 2 时，则 对于 1次微分形式，

ω = P dx + Q dy + R dz

有，

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + R ∧ dz

= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy + ∂P/∂z dz) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy + ∂Q/∂z dz) ∧ dy + (∂R/∂x dx + ∂R/∂y dy + ∂R/∂z dz) ∧ dz

= P/∂y dy ∧ dx + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂z dz ∧ dy + ∂R/∂x dx ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz

= - P/∂y dx ∧ dy + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy - ∂Q/∂z dy ∧ dz - ∂R/∂x dz ∧ dx + ∂R/∂y dy ∧ dz

= (∂Q/∂x - P/∂y)dx ∧ dy + (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dy ∧ dz + ( ∂P/∂z - ∂R/∂x) dz ∧ dx

于是，Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 斯托克斯公式。

当 n = 3, p = 3 时，对于 2次微分形式，

ω = P dx ∧ dy + Q dy ∧ dz + R dz ∧ dx

有，

dω = dP ∧ dx ∧ dy + dQ ∧ dy ∧ dz + dR ∧ dz ∧ dx

= ∂P/∂z dz ∧ dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz ∧ dx

= (∂Q/∂x + ∂R/∂y + ∂P/∂z) dx ∧ dy ∧ dz

于是，Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 高斯公式。

当 n = 1， p = 1 时，对于 0 次微分形式，

ω = F(x)

令 f(x) = F'(x) 有，

dω = F'(x) dx = f(x) dx

于是，再令 D = [a, b]，Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 牛顿-莱布尼兹公式。

以面，用 微分形式 表示 重积分，例如，

比《高等数学》中 的 重积分的表示方法，例如，

更加合理。因为，当 x = x(u, v), y = y(u, v) 时，有：

偰乘规则刚好 符合 重积分的 换位法。

后，令 G(V) 是 V⁰, V¹, ..., Vⁿ 的直和，即，

G(V) = V⁰ ⊕ V¹ ⊕ V² ⊕ ⋯ ⊕ Vⁿ

则 ∧ 可自然地扩展到 G(V) 上，这称为 外代数 或 Gassmann 代数。同样 微分算子 d 也可以扩展到 G(V) 上。

小石头，在回答“外代数那些内容看不懂？” 中 给大家介绍 过 通过 反对称的张量 构造 外代数 实例 的方法，而这里， 微分形式 又是 另外 一个 重要的 外代数 实例。

以上，小石头 仅仅是 向大家展示了 微分形式的 定义 和 基本的性质 和 应用， 微分形式 的 重要应用 是 嘉当 在 《微分几何》 中引入的 活动标架，陈省身和老师 都是玩 微分形式的 大师。关于 《微分几何》有很多有趣的内容，以后有机会再慢慢讲给大家！

（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）

微积分的基本公式共有四大公式：

1、牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式；

2、格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分；

3、高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分；

4、斯托克斯公式,与旋度有关。

微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

斯托克斯公式右手定则是指大拇指指向面的一侧，手指方向就是环线的方向，这是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。

当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。

右手法则是指右手四指沿着边界曲线的方向,大拇指所指的就是曲面的正向边界

斯托克斯公式的使用条件是：

1、光滑曲面S的边界Γ是连续曲线。

2、函数P，Q，R在S（连同L）上连续。

3、函数P，Q，R在S（连同L）上有一阶连续偏导数

是斯托克斯公式吧?面积分内容,任何一本数学分析教材在多元微积分一章里都会提到的,可以去看看.

斯托克斯公式是牛顿微积分公式的推广,大意就是说, 在一个几何区域上求积分的问题可以转化到在该区域的边界上求积分.其哲学思想是, 边界的信息决定了区域内部的性状.

比如在我们平时说的一元微积分里面, 求积分的区域通常是一个闭区间, 它的边界就是两个端点. 牛顿公式就是把区间上的求积问题转化为求被积函数在该区间两个端点上的值（也可以看成端点上的积分）.

斯托克斯公式的条件是：　　

1.光滑曲面S的边界Γ是连续曲线。　　

2.函数P，Q，R在S（连同L）上连续。　　

3.函数P，Q，R在S（连同L）上有一阶连续偏导数。　　斯托克斯公式的内容为：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，S是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与S的侧符合右手规则，对于下面的函数：在曲面S（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数

1)微积分的基本公式共有四大公式：

1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式

2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分

3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分

4.斯托克斯公式,与旋度有关

(2)微积分常用公式：

Dx sin x=cos x

cos x = -sin x

tan x = sec2 x

cot x = -csc2 x

sec x = sec x tan x

csc x = -csc x cot x

sin x dx = -cos x + C

cos x dx = sin x + C

tan x dx = ln |sec x | + C

cot x dx = ln |sin x | + C

sec x dx = ln |sec x + tan x | + C

csc x dx = ln |csc x - cot x | + C

sin-1(-x) = -sin-1 x

cos-1(-x) = - cos-1 x

tan-1(-x) = -tan-1 x

cot-1(-x) = - cot-1 x

sec-1(-x) = - sec-1 x

csc-1(-x) = - csc-1 x

Dx sin-1 ()=

cos-1 ()=

tan-1 ()=

cot-1 ()=

sec-1 ()=

csc-1 (x/a)=

sin-1 x dx = x sin-1 x++C

cos-1 x dx = x cos-1 x-+C

tan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+C

cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+C

sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+C

csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+C

sinh-1 ()= ln (x+) xR

cosh-1 ()=ln (x+) x≥1

tanh-1 ()=ln () |x| 1

sech-1()=ln(+)0≤x≤1

csch-1 ()=ln(+) |x| 0

Dx sinh x = cosh x

cosh x = sinh x

tanh x = sech2 x

coth x = -csch2 x

sech x = -sech x tanh x

csch x = -csch x coth x

sinh x dx = cosh x + C

cosh x dx = sinh x + C

tanh x dx = ln | cosh x |+ C

coth x dx = ln | sinh x | + C

sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C

csch x dx = 2 ln || + C

duv = udv + vdu

duv = uv = udv + vdu

→ udv = uv - vdu

cos2θ-sin2θ=cos2θ

cos2θ+ sin2θ=1

cosh2θ-sinh2θ=1

cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ

Dx sinh-1()=

cosh-1()=

tanh-1()=

coth-1()=

sech-1()=

csch-1(x/a)=

sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ C

cosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ C

tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C

coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C

sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C

csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C

sin 3θ=3sinθ-4sin3θ

cos3θ=4cos3θ-3cosθ

→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)

→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)

sin x = cos x =

sinh x = cosh x =

正弦定理:= ==2R

余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosα

b2=a2+c2-2ac cosβ

c2=a2+b2-2ab cosγ

sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β

cos (α±β)=cos α cos β sin α sin β

2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β)

2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β)

2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β)

2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)

sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β)

sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β)

cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β)

cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β)

tan (α±β)=,cot (α±β)=

ex=1+x+++…++ …

sin x = x-+-+…++ …

cos x = 1-+-+++

ln (1+x) = x-+-+++

tan-1 x = x-+-+++

(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n

= n (n+1)

= n (n+1)(2n+1)

= [ n (n+1)]2

Γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dt

β(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx