张量识别定理，张量的基本运算包括

张量识别（Tensor）是一个定义在的一部分向量空间和一部分对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是||维空间内，有||个分量的一种量，这当中每个分量都是坐标的函数，而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。

在同构的意义下，第零阶张量（r=0）为标量（Scalar），第一阶张量（r=1）为向量（Vector），第二阶张量（r=2）则成为矩阵（Matrix）。比如，针对3维空间，r=1时的张量针对这个问题向量：（x,y,z）。因为变换方法的不一样，张量分成协变张量（CovariantTensor，指标在下者）、逆变张量

1． 加减法

两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。

2． 并积

两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。

3． 缩并

使张量的一个上标和一个下标一样的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。

4． 点积

两个张量当中并积和缩并的联合运算。比如，在极分解定理中，三个二阶张量R、U和V中一次点积R·U和V·R的结果是二阶张量F。

5． 对称化和反称化

对已给张量的n个指标进行n1不一样置换并取所得的n1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。

6． 加法分解

任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。比如，速度梯度 可以分解为 ，这当中 和 分别是 的对称和反称部分，即 和 。

1． 商法则

肯定某些量的张量性的法则。

应力张量不变量的三个公式

应力张量[σij]展开后可得到应力方程σ^3+i1*σ^2+i2*σ+i3=0， i1、i2、i3为应力张量的3个不变量；3、应力状态[σij]可分解为两个部分，即[σij]=[σm*δij]+[sij]， [σm]=([σ1]+[σ2]+[σ3])/3，[sij]为[σij]在pi平面上的投影，称为偏应力张量；4、偏应力张量[sij]展开后同样可得偏应力方程s^3+j1*s^2+j2*s+j3=0， j1、j2、j3为偏应力的3个不变量。

广义相对论是对牛顿万有引力定律的修正与推广是用张量语言写成的引力论。它将引力描述成背景时空而不是一种力，一个物体若只受引力作用则在广义相对论看来是自由质点不受力。引力的作用是为了让直线变得弯曲，数学上反映在度规张量分量很数，等价于黎曼曲率张量非零，协变导数和普通偏导数不一样，克氏符非0等。

其公式主要是引力场方程，其数学形式为rab-0.5gabr=8πtab。式中rab叫做里奇张量，为上升第四指标的黎曼曲率张量上标和第一或第二下标缩并后的结果。协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果是黎曼曲率张量和协变矢量的内积。gab叫做度规张量是该方程的待求量，其在某个坐标系的分量是该坐标系基矢量的内积。r叫做曲率标量是度规张量的逆变分量和里奇张量分量的内积。tab是能动张量。

其他的一部分有关数学公式如图

就是符号约定（即正负号约定）的意思。 如向东运动规定为正，既然如此那，向西运动就是负； 再如狭义相对论里闵氏空间，度规张量符号约定+-，即 g = diag（1，-1，-1，-1）。 总来说之是符号约定（即正负号约定）的意思。

向量叉乘为张量,为：设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2) 详细计算请看下方具体内容： aXb= i j k x1,y1,z1 x2,y2,z2 =（y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)

k设向量为a=(x1,y1,z1)，张量为：b=(x2,y2,z2) 点乘就是：ab=x1x2+y1y2+z1z2张量就是两个向量叉乘得到的一个新向量。故此，与点乘就是得到的向量与另一向量点乘。计算方式和普通向量的点乘差不多的。

假设流体是各向同性的，应力张量和变形速率张量呈线性齐次函数关系，则它们当中的大多数情况下线性关系式为：式中为应力张量，，p为各向同性压力，为偏应力张量；为变形速率张量；为各向同性体积变形速率张量；为克罗内克符号；为膨胀粘性系数。式（2）就是广义牛顿粘性定律的数学表达式。公式（1）（2）是牛顿流体的重要标志，也是确定流体流动时一定不可以缺少的本构方程。