关于高二抛物线的中点弦公式的推导大家来帮，高中数学的点差法

这个定点P一定得在抛物线开口内部才可以，其实就是常说的说一定要满足条件α^2-2pβ0，不然虽然能用公式写出类似的直线方程，但它已不是以P为中点的弦所在直线的方程了。推导过程：点差法。设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1^2=2py1，x2^2=2py2，相减得(x2+x1)(x2-x1)=2p(y2-y1)，因为AB的中点为P，因为这个原因x1+x2=2α，代入上式可解得k=(y2-y1)/(x2-x1)=α/p，因为这个原因所求直线方程为y-β=α/p*(x-α)，化简得py-αx=pβ-α^2。

点差法后实质是用中点坐标来表示弦的斜率。圆锥曲线中点弦问题都可以用差差法来处理。

举个简单例子抛物线y^2=4X。求以点（2，1）为弦中点的直线方程。

设弦两端点坐标为A（X1，y1）及B（X2，y2）代入抛物线方程得y1^2=4X1，y2^2=4X2两式相减并因式分解得（y1一y2）（y1十y2）=4（X1一X2）。斜率K=（y1一y2）/（X1一X2）=4/（y1十y2）=2。再用点斜式写方程y-1=2（X-2）。故此，y=2X-3

点差法　　点差就是在解答圆锥曲线并且试题中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标时，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。得出直线的斜率，然后利用中点得出直线方程。　　利用点差法可以减少不少的计算，故此，在解相关的问题时用这样的方式很好。 　　点差法：适应的常见问题：　　弦的斜率与弦的中点问题； 　　（1）注意：点差法的不等价性；（考虑⊿0）　　（2）“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。 　　在解答平面剖析解读几何中的某些问题时，假设能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目标，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这种类型问题一般与直线斜率和弦的中点相关或借助曲线方程中变量的取值范围得出其他变量的范围。　　与圆锥曲线的弦的中点相关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.　　解圆锥曲线的中点弦问题的大多数情况下方式是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法解答.　　若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率相关的式子,可以大大减少运算量.我们称这样的代点作差的方式为"点差法".　　求直线方程或求点的轨迹方程　　例题一 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是有关x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.　　解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 （1）；x1^2 +px1+q=0 （2）； 　　由（1）、（2）两式相减，整理得px1+3y1+q=0 （3）；　　同理 px2 +3y2+q=0 （4）.　　∵（3）、（4）分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线.　　∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.　　例题二 过椭圆x2＋4y2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.　　解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2＋4y1^2=16，x2^2＋4y2^2=16，　　两式相减，得(x1﹣x2)(x1＋x2)＋4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1＋x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线l的方程为y﹣1=﹣0.25(x﹣1)，即4y + x﹣5=0

这个定点P一定得在抛物线开口内部才可以，其实就是常说的说一定要满足条件 α^2-2pβ＜0 ，不然虽然能用公式写出类似的直线方程，但它已不是以 P

为中点的弦所在直线的方程了． 推导过程：点差法．设弦的端点为 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1^2=2py1 ，x2^2=2py2 ，相减得

（x2+x1）（x2-x1）=2p（y2-y1） ，因为 AB 的中点为 P ，因为这个原因 x1+x2=2α ，代入上式可解得

k=（y2-y1）/（x2-x1）=α/p ，因为这个原因所求直线方程为 y-β=α/p*（x-α） ，化简得 py-αx=pβ-α^2 ．

这个定点P一定得在抛物线开口内部才可以，其实就是常说的说一定要满足条件α^2-2pβ＜0，不然虽然能用公式写出类似的直线方程，但它已不是以P为中点的弦所在直线的方程了．推导过程：点差法．设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1^2=2py1，x2^2=2py2，相减得（x2+x1）（x2-x1）=2p（y2-y1），因为AB的中点为P，因为这个原因x1+x2=2α，代入上式可解得k=（y2-y1）/（x2-x1）=α/p，因为这个原因所求直线方程为y-β=α/p*（x-α），化简得py-αx=pβ-α^2．

抛物线中点弦公式是x2等于2py。过给定点P等于(α，β)的中点弦所在直线方程为py减αx等于pβ减α2，针对给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。

抛物线中点弦公式特点

二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分反映了蝴蝶生态美与数学美的完全一样性，很多中数专著或杂志至今还频繁讨论，本篇文章揭示了它与中点弦性质的关联非常密切，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式。

蝴蝶定理Butterfly Theorem是古代欧氏平面几何中精彩的结果之一，抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有不少表示方式，比如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线中点弦公式:

抛物线C：x2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α2。

中点弦存在的条件：2pβα2（点P在抛物线开口内）。

椭圆中点弦公式

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a2+βy/b2=α2/a2+β2/b2。

中点弦存在的条件：α2/a2+β2/b21（点P在椭圆内）。

双曲线中点弦公式

双曲线C：x2/a2-y2/b2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：

αx/a2-βy/b2=α2/a2-β2/b2。

中点弦存在的条件：(α2/a2-β2/b2)(α2/a2-β2/b2-1)0（点P不在双曲线、渐近线上还有它们所围成的区域内）。

抛物线点差法中点弦斜率公式是k=b^2*x0/(a^2*y0)。斜率是表示一条直线（或曲线的切线）有关（横）坐标轴倾斜程度的量。它一般用直线（或曲线的切线）与（横）坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

斜率又称“角系数”是一条直线针对横坐标轴正向夹角的正切，反映直线对水平面的倾斜度。一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向所成的角的正切值即该直线对比该坐标系的斜率。假设直线与x轴相互垂直，直角的正切值无穷大，所以，直线不存在斜率。

当直线L的斜率存在时，针对一次函数y=kx+b，（斜截式）k即该函数图像的斜率

(1) 碰见中点弦问题经常会用到“韦达定理”或“点差法”

“韦达定理”我就很少说了,重点讨论一下 点差法

（2）中点弦问题用点差法.

中点弦问题大多数情况下用点差法求直线斜率

以椭圆作为例子,椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,(ab0)

设直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),中点N(x0,y0)

x1^2/a^2+y1^2/b^2=1

x2^2/a^2+y2^2/b^2=1

两式相减 (x1+x2)(x2-x1)/a^2+(y2+y1)(y2-y1)/b^2=0

x1+x1=2x0,y1+y2=2y0

kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=-b^2* x0/(a^2* y0)

AB方程 y-y0=-b^2* x0/(a^2* y0)(x-x0)

用类比的方式可以得出双曲线中点弦斜率 b^2* x0/(a^2* y0)

抛物线中点弦斜率 p/y0