先付年金现值公式的推导，先付年金终值和现值的计算公式

后付年金现值推导公式：按照复利现值方式计算年金现值公式为：P=A(1+i)^-1+A(1+i)^-2+A(1+i)^-3+……+A(1+i)^-n将两边同时乘以（1+i）得：P(1+i)=A(1+i)+A(1+i)^-1+A(1+i)^-2+……+A(1+i)^-(n-1)两者相减得P=A*{[1-(1+i)^-n]/i} 式中，[1-(1+i)^-n]/i为“年金现值系数”，记作(P/A,i,n) =A(P/A,i,n)后付年金终值推导公式按照复利终值方式计算年金终值公式为：F=A+A(1+i)+A(1+i)^2+A(1+i)^3+……+A(1+i)^n-1将两边同时乘以（1+i）得：F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)^2+A(1+i)^3+A(1+i)^4+……+A(1+i)^

n两者相减得F=A*{[(1+i)^n-1]/i}式中，[(1+i)^n-1]/i为“年金终值系数”，记作(F/A,i,n)=A(F/A,i,n)先付年金终值计算公式：F=A(1+i)+A(1+i)^2+A(1+i)^3+A(1+i)^4+……+A(1+i)^nF=A*{[(1+i)^n-1]/i} *(1+i)=A(F/A,i,n)*(1+i)或F=A[(F/A,i,n+1)-1]先付年金现值计算公式：P=A+A(1+i)^-1+A(1+i)^-2+A(1+i)^-3+……+A(1+i)^-(n-1)P=A*{[1-(1+i)^-n]/i} *(1+i)=A(P/A,i,n)(1+i)=A[(P/A,i,n-1)+1]先付年金是指一定时期内每期期初等额收付的款项，又称即付年金。（1）先付年金终值是一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。

先付年金终值=A(1+i)+A(1+i)^2+…………+A(1+i)^n=A{[(1+i)^(n+1)-1]/i -1}式中各项为等比数列，首项为A(1+i)，公比为（1+i）

按照等比数列求和公式就可以清楚的知道同普通年金终值系数相比，期数加1，系数减1（2）先付年金现值是一定时期内每期期初等额收付款项的复利现值之和。

先付年金现值= A+A/(1+i)+A/(1+i)^2+…………+A/(1+i) ^(n-1)=A{[1-(1+i)^(1-n)]/i+1}式中各项为等比数列，首项为A，公比为（1+i）－1按照等比数列求和公式就可以清楚的知道同普通年金现值相比，期数减1，系数加1。

年金就是在每期的期末付等额的一笔款。

没有针对的先付年金终值系数表。年金终止系数表适用的是普通年金（后付年金），但先付年金终值系数，可以在此基础上调整查询，即先付年金系数在普通年金系数表查询时，期数加1，系数减1。

比如：要查询5年期，利率5%的先付年金终值系数。还要在年金终止系数表里查询6年期，5%的终值系数，查询到系数为6.8019，这个系数再减1，即5.8019就为5年期，5%，先付年金的终值系数。

此外先付年金终止系数也=普通年金终值系数×（1+i）,i为利率。

还是以5年期，5%作为例子。普通年金终值系数，查表为5.5256。先付年金系数=

年金终值计算公式：F=A*(F/A，i，n)=A*(1+i)n-1/i。

年金终值就是在已知等额收付款金额Present、利率（这里我们默觉得年利率）interest和计息期数n时，考虑货币时间价值，计算出的这些收付款到到期时的等价票面金额。

而年金按其每一次收付出现的时候点的不一样，可分为：普通年金（后付年金）、先付年金、递延年金、永续年金等几种，故年金终值亦可分为：普通年金终值、先付年金终值、递延年金终值。

从资本主义初期启动，“高利贷”情况频出，贷出资金者在短时期内“利滚利”生钱，由此也就出现了“复利”的概念。在这样的社会大背景下，复利出现了而为了简化等额复利的计算，年金也就应运而生

年金终值与现值的计算4个基本公式

普通年金终值=A×(F/A，i，n)，(F/A，i，n)为普通年金终值系数

普通年金现值=A×(P/A，i，n)，(P/A，i，n)为普通年金现值系数

预付年金终值=A×(F/A，i，n)×(1+i)

预付年金现值=A×(P/A，i，n)×(1+i)

递延年金终值=A×(F/A，i，n)

递延年金现值=A×(P/A，i，n)×(P/F，i，m)=A×(P/A，i，m+n)-A×(P/A，i，m)，递推迟m(首次有收支的前一期)，连续收支期n。

什么是普通年金

普通年金（Ordinary Annuity）是指每期期末有等额的收付款项的年金。

普通年金的公式

普通年金终值的计算公式为：

= 　设：

A-年金数目金额； i-利息率； n-计息期数；FVAn-年金终值。上式中的叫年金终值系数或年金复利系数。可写成FVIFAi,n或ACFi,n，则年金终值的计算公式可写成：

FVAn =A *FVIFAi,n =A *ACFi,n

例子：5年中每一年年底存入银行100元，存款利率为8%，求第5年末年金终值为多少。

现值就是启动的资金，终值就是后的资金。

利率不分现值利率还是终值利率的。利率唯有一个。不论你算现值还是终值都只用它一个。

从利率的定义中完全就能够清楚：在单位时间内所得利息额与本金的比值，一般用百成绩表示。故此，说它与现值、终值没相关系。

至于是单利还是复利，在题中就可以告诉你的，例如资金是以单利方法来运作的，或利率是复利率。对应的就按单利或复利来计算了。

在复利计算中分两类：

其一是一次性整付，有二种情况：

1、现值计算。

2、终值计算。

其二是多次支付，又分两种情况，第一种是多次不等额，在计算上麻烦，故此，平日不需要；第二种是多次等额是平日采取的计算方式。共有四种情况：

1、等额多次终值计算也叫年金终值计算。

2、等额多次现值计算也叫年金现值计算。

3、资金回收。

4、基金偿还。

他们的规律是：第1、2的共同点，题中告诉你等额多次的现金流量和利率、期数，如要还告诉了你现值，那就是要求终值了，反之就是要求现值了。

第3、4的共同点是，题中告诉你利率、期数和现值或终值，来求现金流量。

认真观察，第1、4互为逆运算。第2、3互为逆运算。

故此，一共是六种情况。

实际上这些都是有规律可循的，记公式主要是记住系数，假设能记住推导过程，没事儿时把数列多推几遍就可以记住的。假设应急，给你说点我学习时候的记忆方式吧：

一、后付年金：

（1）终值：（f/a，i，n）= [ (1+i)^n-1] / i ；

(2)现值：（p/a，i，n）= [1- (1+i)^-n] / i

注：观察这两个公式，主要区别在于分子，只是终值里 n 的前后都是正的，现值里是负n次方，且前面还有一个负号（虽然比较牵强，但好歹是一种记忆方法啊）；

二、先付年金：

（1）终值f= a (f/a，i，n)x(1+ i) =a[(f/a，i，n+1)-1] ；

(2)现值p = a (p/a，i，n)x(1+ i) =a[(p/a，i，n-1)+1]

注意：认真观察这两个公式和后付年金系数公式，就可以发现（ 用定义也可直接推断出来哦）：后付年金终值系数期数加1，系数减1变成先付年金；后付年金现值系数期数减1，系数加1变成先付年金。

三、推迟年金是按照详细情况而定是建立在前两种的基础上。

四、永续年金现值：比较简单是期数无限值的推导，即：现值=1/ i 。无终值。

期初年金终值公式：S=R（1+1/i）[(1+i)^n-1]，这当中，S是终值，R是每一年支付现金，i是利率，n是期数。期初年金终值是指每期期初出现的分次款还有由这些分次款复利积累的总和。

年金终值就是在已知等额收付款金额Present、利率（这里我们默觉得年利率）interest和计息期数n时，考虑货币时间价值，计算出的这些收付款到到期时的等价票面金额。

即付年金现值的计算公式P=A×[（P/A，i，n-1）+1]：先把即付年金转换成普通年金，转换的方式是，求现值时，假设0时点（第1期期初）没有等额的收付，这样就转化为n-1期的普通年金的现值问题，计算期数为n-1期的普通年金的现值，再把原来未算的第1期期初位置上的这个等额的收付A加上，就得出即付年金现值，即付年金的现值系数和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1。 n-1期的普通年金的现值＝A×（P/A，i，n-1） n期即付年金的现值＝n-1期的普通年金现值＋A ＝A×（P/A，i，n-1）+A =A×[（P/A，i，n-1）+1]

P=A×[（P/A，i，n-1）+1]：第一将预付年金转换成普通年金，转换的方法是，求现值时，假设0时点（第1期期初）没有等额的收付，这样就转化为n-1期的普通年金的现值问题，计算期数为n-1期的普通年金的现值，再把开始未算的第1期期初位置上的这个等额的收付A加上，完全就能够够得出预付年金现值，预付年金的现值系数和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1。

n-1期的普通年金的现值＝A×（P/A，i，n-1），

n期预付年金的现值＝n-1期的普通年金现值＋A ＝A×（P/A，i，n-1）+A =A×[（P/A，i，n-1）+1]。

过程：预付年金同样可以通过推导进行简化，但是还有一个更简单方便的方法，预付年金和普通年金的区别在于收付款时间点，普通年金收付款时间点在每期的期末，而预付年金的收付款时间点在每期的期初，这个差异就致使预付年金每一次收付款的现值要比普通年金收付款的现值少折现一次，实际上就是常说的少除以一次（1+i），所以预付年金的现值可由普通年金现值公式算出：

p=a*(p/a，i，n)*（1+i）

同样的原理，针对预付年金的终值，每一次收付款的终值要比普通年金多算一次利息，实际上就是常说的多乘以一次（1+i），所以预付年金的终值就等于

f=a*(f/a，i，n)*（1+i）

如此一来，预付年金的现值和终值都等于普通年金的现值和终值乘以（1+i），针对预付年金的计算就转化成了普通年金的计算；