sinx和cosx的欧拉公式公式sinax的欧拉公式

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

1.(欧拉公式) eit＝cost+isint

这当中e是自然常数，其值约为2.718；cos和sin分别是余弦和正弦函数；i是虚数，满足 i²=-1。当t=π时cosπ＝-1，sinπ＝0，于是上面公式变成。

2.（欧拉公式) eiπ+1=0

0，1，i(虚数)，π(圆周率)，e(自然对数)

欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）还有欧拉一马克劳林公式（数字法），这里举的只是重要，要优先集中精力的例子。

欧拉定理：e^(ix)=cosx+isinx。这当中：e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。将公式里的x换成-x，得到：e^(-ix)=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2。

欧拉公式：

e^iθ = cos(θ) + j sin(θ)

当 θ = π ， e^iπ = -1

证明：

e^z = e^x+jy = e^x * e^iy = e^x * (cos (y) + i sin(y))

当x = 0 ， y = θ 时， 有 e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

当 θ = π 时， e^iπ = -1 。

假设是欧拉公式，右边等于cos(ωt-π/2)+jsin(ωt-π/2)=sinωt-jcosωt=左边=sinωt，既然如此那，-jcosωt=0

左边没有复数部分，右边有，从数学的视角没法解释是不是有其他条件

两角之和的正余弦公式非常的重要，有了它，比较容易得到两角之差的正余弦公式、两角和差的正余切公式、倍角公式和半角公式。两角之和的正余弦公式要牢牢记在心里不容易,为了帮记忆,可借助于欧拉公式exp(iθ)=cosθ+isinθ导出(实质上属循环推导),详细过程请看下方具体内容:

按照exp(i(α+β))=exp(iα)﹒exp(iβ),两边利用欧拉公式可得:

cos(α+β)+isin(α+β)=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ),将右边展开整理可得:

cos(α+β)+isin(α+β)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)

按照复数相等即实部与虚部分别相等便可得到两角之和的正余弦公式:

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ