sin和cos的欧拉公式sinx和cosx的欧拉公式写法

正弦函数的欧拉公式为：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)，余弦函数的欧拉公式为：cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2. 需要大家特别注意的是，虽然我们可以检验(sinx)^2+(cosx)^2=1，但却不可以用这样的检验法来证明这两个公式。不然就有可能会推出其它错误的结论。那这两个公式究竟是咋来的呢？

假设用逆向思维反推，我们可以由正弦函数的欧拉公式得到e^(ix)-e^(-ix)=2isinx；由余弦函数的欧拉公式得到e^(ix)+e^(-ix)=2cosx. 把它们当成是有关e^(ix)和e^(-ix)的二元一次方程组，两式相加可以得到e^(ix)=cosx+isinx；两式相减则得到e^(-ix)=cosx-isinx. 其实，记f(x)=e^(ix)=cosx+isinx，既然如此那，就有f(-x)=e^(-ix)=cosx-isinx，其实就是常说的说，它们是同一个公式的两种形态。

检验e^(ix)=cosx+isinx需运用到e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!；

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!, (n=2m)；

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!, (n=2m+1).

用ix替换e^x的省略余项的麦克劳林公式中的x，完全就能够得到：

e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+i(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!

=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!)

=cosx+isinx.

这个问题就证明了sin和cos的欧拉公式成立。

然而，欧拉在推导公式时，反而反过来的。他是先由e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式，将e^x的x替换成±ix，推出e^(ix)=cosx+isinx和e^(-ix)=cosx-isinx。再把两者当成有关sinx和cosx的二元一次方程组，以此得到sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)和cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2的。

此外对x取π，代入e^(ix)=cosx+isinx得到e^(πi)+1=0，即e^(πi)=-1，它被誉为“上帝创造的公式”。

欧拉公式还有不少拓展，这里没办法一一尽述，但是，它的奇妙之处吸引了大量数学家对其进行研究，有兴趣我们也可继续探究下去。

cosx和sinx用欧拉公式表示：e^(ix)=cosx+isinx。这当中e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。将公式里的x换成－x，得到：e^(-ix)=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：sinx=/(2i)，cosx=/2。

2倍角变换关系：

二倍角公式通过角α的三角函数值的一部分变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式涵盖正弦二倍角公式、余弦二倍角公式还有正切二倍角公式。

在计算中可以用来化简计算式，减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛地运用。

sin和cos的欧拉公式是e^ix=cosx+isinx，或sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2。欧拉公式是指以欧拉命名的很多公式。这当中著名的有：复变函数中的欧拉幅角公式-将复数、指数函数和三角函数联系起来，拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。除开这点，还涵盖其它一部分欧拉公式，如分式公式等。

sinx是正弦函数，sinx的导数就是指sinx在函数上某一点的斜率，sinx的导数是cosx。

Sin x 名为正弦函数是三角函数的一种，其几何意义是直角三角形中角的对边与三角形斜边之比。

正弦函数的定义域为我们全体实数，值域为零到一。要求Sin x的导数，第一需用欧拉公式将Sin x转化为Sin x=(e^x-e^(-x))/2，再利用导数的定义解答，求得结果为Cos x，即Sin x的导数是Cos x，正弦的导数是余弦。

这个地方没有真正用到复数，只是用了复数的实部，基本上等同于用实数函数。这里其实班V(t)=V0*coswt（用欧拉公式)。sinwt比coswt滞后90度，基本上等同于复数除以j。复数表示就是相量。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

sinwt的拉普拉斯变换 在 欧拉公式: e^iwx=coswx+isinwx e^-iwx=coswx-isinwx i为虚数单位,两式相减,消去cos项就可以得到。

详细回答请看下方具体内容：

f(t)是一个有关t的函数，让当t0时候，f(t)=0；s是一个复变量；一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

扩展资料：

假设针对实部σ σc的全部s值上面说的积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。

对给定的实变量函数 f(t)，唯有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。

函数变换对和运算变换性质 　利用定义积分，比较容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，还有f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了经常会用到的一部分函数变换对和运算变换性质。

sinwt的拉普拉斯变换 在 欧拉公式: e^iwx=coswx+isinwx e^-iwx=coswx-isinwx i为虚数单位,两式相减,消去cos项就可以得到。

假设是欧拉公式，右边等于cos(ωt-π/2)+jsin(ωt-π/2)=sinωt-jcosωt=左边=sinωt，既然如此那，-jcosωt=0

左边没有复数部分，右边有，从数学的视角没法解释是不是有其他条件