柱坐标以及球坐标下梯度公式及其推导，圆柱坐标散度的推导

柱坐标系

x=r*cost

y=r*sint

z=z

球坐标系

x=r*sint*cosv

y=r*sint*sinv

z=r*cost

柱坐标系和球坐标系的关系用上面两式相比完全就能够得到

可以考虑大多数情况下情况，在正交曲线坐标系中的散度公式。

第一，你要记住哈密顿算子▽ 他表示一个矢量算子（注意）：

▽≡i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz

运算规则:

一、▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz

这样标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场,该矢量场反应了标量场A的分布。

那就是梯度!是个矢量!

二、▽·A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz

这个是散度!是个标量!

三、▽×A=(dAz/dy-dAy/dz)*i+(dAx/dz-dAz/dx)*j+(dAy/dx-dAx/dy)*k。

这个是旋度!是个矢量!由此可见：数量（标量）场的梯度与矢量场的散度和旋度可表示为：

gradA=▽A,divA=▽·A,rotA=▽×A。

原理

算法目标 渐渐逼近损失函数loss 的极小值,简单抽象为求函数 的极小值。

2.

算法描述 每一次取一个增量 ,让 ,每一次向函数值更小的地方前进一小步,多次迭代就可以做到渐渐逼近函数 的极小值。

3.

算法推导 展开 得到公式 。 这当中H为海森矩阵,暂且不考虑。为使 成立,只保证 。 即,当 时, ,如此就可以保证每一次更新在渐渐逼近函数的极小值。这当中 为学习率是一个较小的正数。 每一次更新时做 操作,求得 的小值。

4.

注意 上面说的过程是在逼近极小值,未必是函数的小值。 是一种下降趋势,整个循环步骤中函数值 在下降,并不是每个小步骤得到的函数值都比前一次要小。

运动粘度ν=μ/ρμ为液体的动力粘度ρ为液体的密度而为液体的动力粘度μ=τ/(du/dy)τ为液流单位面积上的内摩擦阻力du/dy为速度梯度

按照傅立叶导热定律（傅立叶导热定律，Fourier's law of heat conduction），傅立叶定律是传热学中的一个基本定律，可以用来计算热量的传导量。有关的公式请看下方具体内容

Φ＝-λA(dt/dx)

q＝-λ(dt/dx)

这当中Φ为导热量，单位为W

λ为导热系数

A为传热面积，单位为m^2

t为温度，单位为K

x为在导热面上的坐标，单位为m

q是沿x方向传递的热流密度（严格地说热流密度是矢量，故此，q应是热流密度矢量在x方向的分量）单位为W/m^2

dt/dx是物体沿x方向的温度变化率

大多数情况下形式的数学表达式：q=-λgradt=-λ(dt/dx)n

式中：gradt是空间某点的温度梯度（temperature gradient）；n是通过该点的等温线上的法向单位矢量， 指温度升高的方向。

a叉乘b再叉乘c等于=a点乘c再点乘b减去b点乘c在点乘a.空间剖析解读几何中的公式，用坐标表达式可以证明。

a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-a1c2b3-b1a2c3-c1b2a3

a×（b×c）=b(a·c)-c（a·b），套入公式，故此，r×（ω×r）=ωr^2-r(ω·r)

拉格朗日公式：a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）

二重向量叉乘化简公式及证明，可以简单地记成“BAC-CAB”。这个公式在物理上简化向量运算很有效。需要大家特别注意的是，这个公式对微分算子不成立。这里给出一个和梯度有关的一个情形；这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向一样的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量a。

由空间基本定理知，有且唯有一组实数(x,y,z)，让a=ix+jy+kz，因为这个原因把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。那就是向量a的坐标表示。这当中(x,y,z)，就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量

推导导热微分方程式的前提条件是傅里叶定律揭示了连续温度场内热流密度与温度梯度的关系。

针对一维稳态导热问题可直接利用傅里叶定律积分解答，得出导热热流量。

但因为傅里叶定律未能揭示各点温度与其相邻点温度当中的关系，还有此刻温度与下一时刻温度的联系，针对多维稳态导热和一维及多维非稳态导热问题都不可以直接利用傅里叶定律积分解答。

导热微分方程揭示了连续物体内的温度分布与空间坐标和时间的内在联系，使上面说的导热问题解答成为可能。