高中数列公式总结，高中极限的定义公式

数列求和经常会用到公式:

1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2

2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6

3） 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2

=n^2*(n+1)^2÷4

4） 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)÷3

5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6） 1+3+6+10+15+......

=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)

=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+......

=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)

=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2

=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6

8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)

=1-1/(n+1)=n÷(n+1)

9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n)

=2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)

=(n-1) ÷(n+1)

10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n

=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n

11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3

12）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4

=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30

14）1^5+2^5+3^5+..........+n^5

=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12

15）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1

ps：数列的性质：

等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．

⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，非常地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式具有更多的有大多数情况下性．

⑸、大多数情况下地，假设l，k，p，…，m，n，r，…都为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），既然如此那，当{a }为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．

⑺假设{ a }是等差数列，公差为d，那么a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(这当中m、k、 )

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1），则a = ．

5．等差数列前n项和公式S 的基本性质

⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(这当中a、b为常数)．

⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．

⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…也还是成等差数列，公差为 ．

⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．

⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．

⑹等差数列{a }中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．

⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．（1）若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 大；（2）若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 小．

3．等比数列的基本性质

⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．

⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，非常地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式具有更多的有普遍性．

⑶大多数情况下地，假设t ，k，p，…，m，n，r，…都为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，既然如此那，当{a }为等比数列时，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．

⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别是| q |}、{q }、{q}、{ }．

⑸假设{ a }是等比数列，公比为q，那么a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．

⑹假设{ a }是等比数列，既然如此那，对任意在n ，都拥有a ·a = a ·q ＞0．

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．

⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前n项和公式S 的基本性质

⑴假设数列{a }是公比为q 的等比数列，那么它的前n项和公式是S =

其实就是常说的说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因为这个原因，使用等比数列的前n项和公式，一定要要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，假设q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．

⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．

⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵

⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…也还是成等比数列．

⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别是S 与T ，次n项和与次n项积分别是S 与T ，后n项和与n项积分别是S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列

显而易见告诉你绝对不是高中学的，因为这两个公式推导要用到结论：枯燥乏味有界数列收敛这个定理，还有数列的定义来证明，故不是高中数学内容，我有高数书，上面有。

是应用于数学中的公式，外文名Series formula，类型为数学名词，假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数)，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比一般用字母q表示。

假设一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差一般用字母d表示。

1、大多数情况下数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(这当中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是有关n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=

当d≠0时，Sn是有关n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是有关n的正比例式。

4、等比数列的通项公式：an=a1qn-1an=akqn-k

(这当中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是有关n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=Sn=

三、高中数学中相关等差、等比数列的结论

1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{anbn}、、仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。

12、{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn}(c0且c1)是等差数列。

求数列通项公式经常会用到以下几种方式：

一、试题已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例子：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。故此，an=2n-1。这种类型题主要是用等比、等差数列的定义判断是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1(n=1)

Sn-Sn-1(n2)

例子：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

(A)9(B)8(C)7(D)6

解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴52k-108∴k=8选(B)

这种类型题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，一般用转化的方式，先得出Sn与n的关系，再由上面的(二)方式求通项公式。

例子：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得-=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=-，Sn=-，

再用(二)的方式：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不合适此式，故此

-(n=1)

-(n2)

四、用累加、积累的方式求通项公式

针对题中给出an与an+1、an-1的递推式子，经常会用到累加、积累的方式求通项公式。

例子：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，故将他相乘得：∴-=-，

又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

五、用构造数列方式求通项公式

试题中若给出的是递推关系式，而用累加、积累、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，以此得出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高中毕业考试热点，因为这个原因不仅是重点也是难点。

例子：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(-1)(an+2)，n=1,2,3,……

(1)求{an}通项公式(2)略

解：由an+1=(-1)(an+2)得到an+1-＝(-1)(an-)

∴{an-}是首项为a1-，公比为-1的等比数列。

由a1＝2得an-=(-1)n-1(2-)，于是an=(-1)n-1(2-)+-

又例子：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：这道题即证an+1-(n+1)=q(an-n)(q为非0常数)

由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

故此，数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改成求an的通项公式，则仍可以通过得出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例子：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略

解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=-(1-an-1)，又1-a1≠0，故此，{1-an}是首项为1-a1，公比为-的等比数列，得an=1-(1-a1)(-)n-1

你好，我也是修过必修五这门课的数学，下面是等差和等比全部公式：期望对你有很大帮助：.等差数列公式an=a1+(n-1)d　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2　　Sn=(a1+an)n/2 　　若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 　　若m+n=2p则：am+an=2ap （1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an当成自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 　（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 (5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an 　（1）当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q) 　　（2）当q=1时， Sn=n×a1（q=1） 　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 祝你学习进步！但愿对你有一定的帮助！！！！