极限的运算法则总结，函数极限的基本定义表达式是什么
极限的运算法则总结？
极限运算法则公式是φ(x)=ψ(x)，“极限”是数学中的分支—微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不可以到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的途中渐渐向某一个确定的数值A持续性地逼近而“永远不可以够重合到A”。
“永远不可以够等于A，但是，取等于A已经足够获取高精度计算结果的途中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“持续性地非常靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可用其他符号表示）。
函数极限的基本定义表达式？
极限制要求义表达式为lim。极限是微积分中的基础概念，指的是变量在一定的变化途中，从总结历次经验来说渐渐稳定的这样一种变化趋势还有所趋向的值。微积分是高等数学中研究函数的微分、积分还有相关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要涵盖极限、微分学、积分学及其应用。微分学涵盖求导数的运算是一套有关变化率的理论。
函数极限的定义公式：
函数极限是高等数学基本的概念之一，导数等概念全部在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。经常会用到的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性还有函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
当分母等于零时，就不可以将趋向值直接代入分母，可以通过下面哪些建议处理：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母产生根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上我所说的解法全部在趋向值是一个固定值时进行的，假设趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的高次方。
高等数学极限公式？
高数极限公式就唯有两个，分别是：sinX/x→1（x→0）与(1+1/x)^x→e^x（x→∞），极限是微积分和数学分析的其他分支基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。
极限可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可描述函数的自变量接近某一个值时，相对应的函数值变化的趋势。
总结函数求极限的类型及方式并针对每个类型举例？
一、求函数极限的方式 1、利用极限的四则运算性质
x 2+3x +5
例子：求 lim
x →2x +4
x 2+3x +522+3⋅2+55
= 解: lim =
x →22+42x +4
2、约去零因式（适用于x →x 0时, 型）
x 3-x 2-16x -20
例: 求lim 3
x →-2x +7x 2+16x +12
(x
解:原式=lim
x
x →-2
3
-3x 2-10x +(2x 2-6x -20)
322
+5x +6x +(2x +10x +12)
)
(x -5)(x +2) (x +2)(x 2-3x -10) (x 2-3x -10)
lim =lim == lim
x →-2(x +2)(x +3) x →-2(x +2)(x 2+5x +6) x →-2(x 2+5x +6)
=lim
3、通分法（适用于∞-∞型） 例:求 lim (
x →2x →-2
x -5
=-7 x +3
41
-)
4-x 22-x
解:原式=lim
114-(2+x ) (2-x )
= =lim =lim
x →22+x x →2(2+x ) ⋅(2-x ) x →2(2+x )(2-x ) 4
4、等价无穷小代换法
1-cos x 2
例:求极限lim 2
x →0x sin x 2
(x 2) 2
(x 2) 21-cos x 2222=1 lim 2 解: sin x ~x , 1-cos x ~ ∴ =
x →0x sin x 22x 2x 22
注： 在利用等价无穷小做代换时，大多数情况下只在以乘积形式产生时可以互换，若以和、差产生时，
不要轻易代换，因针对这个问题时经过代换后，时常改变了它的无穷小量之比的“阶数”
1
5、利用两个重要的极限。
(A ) lim
sin x x →0x =1 (B ) lim x →∞(1+1
x
) x =e
常常使用的是它们的变形：
(A ) lim
sin ϕ(x )
ϕ(x )
=1, (ϕ(x ) →0)
(B ) lim(1+1
ϕ(x ) ) ϕ(x ) =e , (ϕ(x ) →∞)
例子：求下方罗列出来的函数极限
(1) 、lim a x -1
ln cos ax x →0x
(2) 、lim x →0ln cos bx 解：（1）令a x
-1=u , 则 x =ln(1+u ) ln a 于是a x -1u ln a
x =
ln(1+u )
又当x →0时，u →0
故有：lim a x -1u x →0x =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a
u →0
1=ln a u
ln(1+u ) u
(2) 、原式=lim
ln[(1+(cosax -1)]
ln[(1+(cosax -1)]cos bx -1x →0ln[1+(cosbx -1)]=lim x →0cos ax -1⋅
cos ax -1
cos bx -1
=lim cos bx -1x →0cos ax -1
sin 2a x
-2sin 2αx (a x ) 2(b
x ) 2
=lim =lim ⋅=b 2sin 2x sin 2x (2
x →0-2b x →0b a a
2
x ) 2
22(b 2
x ) 26、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 例子：求下方罗列出来的函数的极限
e x (1) 、lim
cos x +5
x →01+x 2+ln(1-x )
2
7、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不一样的极限类型）非常地有：
lim
x →1
x -1x -1
n m
l k
=
m l
m、n 、k 、l 为正整数。 nk
例子：求下方罗列出来的函数极限 （1） lim
x →1
1-x 1-m x
(m 、n ∈N ) （2）lim (
x →∞
2x +3x +1
) 2x +1
解: （1）令 t=x 则当x →1 时 t →1, 于是
1-t m (1-t )(1+t +t 2+ +t m -1) m
原式=lim =lim = 2n -1t →11-t n t →1(1-t )(1+t +t + +t ) n
2x +3x +12x +1
) =lim (1+)
x →∞2x +1x →∞2x +12x +1111
= 则 x +1=+ 令：2t t 2
（2）因为lim (
+2x +3x +12x +1
t 2
) =lim (1+) =lim (1+t ) =lim (1+t ) t ⋅lim (1+t ) 2=e ⋅1=e ∴lim (
x →∞2x +1x →∞t →0t →0t →02x +1
11
1
1
8、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，还有用定义求极限等情形) 。
⎧1-2e -x , x ≤0
⎪
⎪x -x
例子：设f (x ) =⎨, 0
x →0x →1
x ⎪
⎪x 2, x ≥1⎩解： lim f (x ) =lim (1-2e -x ) =-1-
x →0
x →0
x →0+
lim f (x ) =lim (+
x →0
x →0
x -x x
) =lim (x -1) =-1+
x →0
x →0
f (x ) =lim f (x ) =-1 ∴lim f (x ) =-1 由lim -+
x →0
又 lim f (x ) =lim -
x →1
x →12
x -x x
=lim x -1) =0-
x →1
lim f (x ) =lim x =1 x →1+x →1+
由f (1-0) ≠f (1+0) ∴lim f (x ) 不存在
x →1
3
9、洛必达法则（适用于未定式极限）
注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： （1） 要注意条件，其实就是常说的说，在没有化为
0∞
, 时不可求导。 0∞
（2） 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 （3） 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是不是仍是未定式，若碰见不是未
定式，应马上停止使用洛必达法则，不然会导致错误。
f (x )
（4）当lim 不存在时，本法则失效，但并非说极限不存在，这个时候求极限须用另外方
x →a g (x )
法。 例子： 求下方罗列出来的函数的极限
e x -(1+（1）lim 2x ) x →0ln(1+x 2)
（2）x lim
ln x
→+∞x a
(a 0, x 0)
解：（1）令f(x)= e x
-(1+2x )
, g(x)= ln(1+x 2)
f (x ) =e x -(1+2x )
-, g
(x ) =
2x
1+x
2
f
(x ) =e x
+(1+2x )
-, g
(x ) =
2(1-x 2)
(1+x 2) 2
因为f (0) =f (0) =0, g (0) =g (0) =0 但f (0) =2, g (0) =2 以此运用洛必达法则两次后得到
-lim e x -(1+2x ) x →0ln(1+x 2)
=lim e x -(1+2x )
x →02x
=lim e x +(1+2x ) x →02(1-x 2)
=
2
2
=11+x 2
(1+x 2) 2
（2） 由lim ln x =∞, lim x a
x →+∞
=∞
x →+∞
∞ 所以，例属于
∞
型，由洛必达法则有： 1
x lim ln x →+∞x =x lim x →+∞ax a -1=x lim 1a →+∞ax a
=0(a 0, x 0) 10、求代数函数的极限方式 (1)有理式的情况
4
(2x -3) 20(3x +2) 30
例子：求下方罗列出来的函数的极限lim x +1) 50
x →∞(2 解: 分子，分母的高次方一样，故
lim (2x -3) 20(3x +2) 30220⋅330
330x →∞(2x +1)
50=250=(2) (2)无理式的情况。 例子：求x lim →+∞
(x +
x +x -x ) 解: x lim →+∞
(x +
x +x -x )
=x lim
初级阶段：四则运算法，连续函数用代入法，分子分母同除高次项法，分离非零定式因式法，分子有理化法，分子分母约去致零因式法。晋级阶段：等价无穷小替换因式法，不定式的罗比达法则,幂指函数配底或取对数。高级阶段：泰勒公式展开法，收敛级数通项趋于0，构造定积分法，应用积分和微分中值定理法。

求极限的几种类型与方式
求极限的方式
(1)分式中，分子分母同除以高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
(2)无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方式；
(3)运用两个非常极限；
(4)运用洛必达法则，但是，洛必达法则地运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小。比无穷小，分子分母还一定要是连续可导函数。
(5)用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍译为Taylor(泰勒)展开。
(6)等阶无穷小代换，这样的方式在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是常常会出错，要非常小心。
(7)夹挤法。这不是普遍方式，因为不可能放大、变小后的结果都一样。
(8)情况特殊下，化为积分计算。
数列的极限公式？
洛必达法则:若极限为f(x)/g(x)型，当x-〉a时，f(x)即g(x)同时趋向于0或同时趋向于无穷大时（即0比0型或无穷比无穷型），原极限f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)，这当中f'(x)及g'(x)为f'(x)及g'(x)有关x的导数。
比如：lim(x-0) x/sinx
因为当x趋向于0时x及sinx均趋向于0，故可用洛必达法则，即lim(x-0) x/sinx=lim(x-0) x'/(sinx)'=lim(x-0) 1/cosx
因为当x趋向于0时cosx趋向于1，故此，lim(x-0) x/sinx=lim(x-0) 1/cosx=1
函数极限的7个性质定理？
1.唯一性
若极限 lim x→x0 f (x) 存在,则极限值唯一。
2.函数极限的局部有界性
若极限 lim x→x0 f (x) 存在,则存在δ 0，让f(x)在邻域U°(x；δ)内有界。
3.局部保号性
若limx→xo f(x)=A且A0,(A0)则存在δ o使当x∈U°(x；δ)时,有f(x)0 (f(x)0)。
4.保不等式
若存在δ 0使当x∈U°(x；δ)时,有f(x)≤g(x) 且lim.x-x f(x)=A，lim.x-x g(x)=B，则A≤B。
5.迫敛性
若存在δ 0使当r∈U°(r；δ)时,有f(x)≤h(x)≤8(r)且且li田n f(x) linn 8(t) A则lim,n h(r)=A。
6.必要性
假设lim_g,f(r)=A。则对任意ε0，存在正数
0δ λ，让If(r)-Akε对全部x∈U°x；8)成立
现对任意取自于U(x.；2)中收敛于5的数列{功}，取正整数N让当1N时，|x。-xokδ。则由(13.3) 我们有:当1N时
.f(x,)-Alkε
于是得到lim,+z f(x,)=A。
大学经常会用到极限公式有什么？
极限公式：
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)
3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)
4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)
10、a^x-1~xlna (x→0)
11、e^x-1~x (x→0)
12、ln(1+x)~x (x→0)
13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)
14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)
15、loga(1+x)~x/lna(x→0)
扩展资料：
高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：
sinX/x →1（ x→0 ），
与 (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）。
此外有关等价无穷小，有：
sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)
~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（ x→0），
1-cosx ~ x^2/2（ x→0）。
极限公式：
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~x (x→0)13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：sinX/x →1（ x→0 ），与 (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）。此外有关等价无穷小，有：sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（ x→0），1-cosx ~ x^2/2（ x→0）。
