内积和范数的关系，函数的小上确界和范数的关系是

1、针对向量，范数||·||是定义在向量空间上的一个泛函；

2、对一个n维向量，可以觉得它的2范数就是它的长度，但是，这只是表目前公式上的形式，长度还是定义在内积的基础上的；

3、之故此，在范数||·||中引入长度的概念是为了帮形象化理解，觉得它是在n维空间里一个p维（p=n）向量的“长度”，然而，当n3以后，超级难再对这个这里说的的“长度”作出详细的几何解释；

4、虽然没有详细的几何解释，但是，范数||·||规定的“长度”具有欧几里得意义下几何向量长度的基本性质，及非负性、齐次性和三角不等式。

包含关系：度量空间定义了距离（度量空间有长度），赋范空间定义了范数（范数比距离多了个数乘可提取的限制），内积空间定义了内积（内积空间有的视角和长度）。距离弱于范数，弱于内积。

误差基本概念

这里涉及两种基本的误差。

绝对误差：x-a，这当中a是x的一个近似值。

相对误差： 绝对误差可能会导致误会，不可以正确反映误差变化。例如x1 = 3.0000,a1 = 3.100，x2=3000，a2=3100，计算看来x1-a1=-0.1，x2-a2=-100，两个绝对误差是不一样的，但是，计算一下相对误差会发现是同一数量级的。因为这个原因采取相对误差衡量误差的大小变化更为精确。

问题： 但是，有一个问题是，现实中，我们依然不会了解真实值x的大小咋办，应该如何处理呢？

处理方案 使用a作为x的近似值，来计算相对误差，即。

3. 绝对误差界 定义为绝对误差界

4. 相对误差界 定义为相对误差界。

因为，绝对误差解是一个大于等于|x-a|的数值，因为这个原因绝对误差界和相对误差界依然不会唯一。

3.有效数字

第一，明确有效位数的概念。以作为例子子，假设a1=3.14，a2=3.1416这样的选取近似值的特点是，误差界不能超出它们末位数字的半个单位。

范数

定义：我们期望把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数能提供向量和矩阵的大小度量。因为多方面的用途，这样做是方便的。我们期望这样一个数量类似于一个复数的模。 可以把范数看成一个函数映射过程，，这当中y是映射后的范数，f是对应的各自不同的范数变换。 范数的概念是复数模的概念的自然推广。

1.向量范数及其等价性

（1）向量范数

什么是范数 范数满足三个性质

非负性：，并且||x||=0的充要条件为x=0

齐次性：

三角不等式： 满足以上三个条件，称||·||为范数。

P-范数

P范数的定义请看下方具体内容

通过推导，我们会得到三种经典的范数请看下方具体内容：（推导过程不用掌握并熟悉，记住经典的三种向量范数的解答公式就可以）

典型的向量范数有三种

证明二范数满足性质三，三角不等式

加权范数

定义为：

2. 矩阵范数及相容矩阵范数的性质

（1）矩阵范数

矩阵可以通过变化拉伸成一维的向量，进一步可以将向量范数的概念推广到矩阵范数。记住，这里的推广是根据将矩阵转换成一维向量达到的。

矩阵因为涉及到矩阵的乘法，因为这个原因矩阵范数的定义相较于向量范数有一部分条件上的提高。

非负性：对任意矩阵A均有||A||≥0，并且||A||=0的充分必要条件为A=0

齐次性：

三角不等式：

相容性：

因为这个原因有由向量范数推广得到的三种矩阵范数。

实质上运算中，不止出现矩阵相乘，矩阵与向量相乘更是经常产生，既然如此那，如何衡量矩阵和向量当中的关系呢？因为这个原因就提出了矩阵范数与向量范数的相容性问题。

定义：针对一种矩阵范数和一种向量范数，假设对任意m x n矩阵A和任意n维向量x，满足

则称矩阵范数与向量范数是相容的。

其实可以证明，任意一种矩阵范数肯定存在与之相容的向量范数。

矩阵范数与向量范数相容的性质反映这样一个事实：矩阵A的范数||A||是象Ax的范数||Ax||和原象x的范数||x||之比的一个上界，即。因为这个原因可以用||A||来评估变换A的结果，但是，这样的估计很粗糙。目前的问题是象Ax的范数||Ax||和原象x的范数||x||之比的上界中的小上界或上确界是不是仍是A的范数。以此引出算子范数的概念。

（2）算子范数

第一，有算子范数的定义。

我们可以证明出确实是一个范数（通过证明满足矩阵范数的四个条件）。

我们称1-25定义的矩阵范数是从属于向量范数||·||v的矩阵范数，简称从属范数或算子范数。

进一步我们通过推导，可以得到经常会用到的从属于向量1-范数，2-范数，∞-范数的矩阵范数，我们称之为列范数，谱范数和行范数。

两点当中的距离公式为 d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

两点间距离公式叙述了点和点当中距离的关系。两点的坐标是（x1,y1)和（x2,y2)，则两点当中的距离公式为d=√［（x1-x2)²+(y1-y2)²]。

注意特例子：当x1=x2时，两点间距离为｜y1-y2|；当y1=y2时，两点间距离为｜x1-x2|。

数学中常见的距离

1、欧氏距离，也称欧几里得度量、欧几里得度量是一个一般采取的距离定义，它是在m维空间中两个点当中的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点当中的距离。

2、曼哈顿距离，出租车几何或曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。

3、在数学中，切比雪夫距离或是L∞度量是向量空间中的一种度量，二个点当中的距离定义是其各坐标数值差绝对值的大值。以数学的观点来看，切比雪夫距离是由完全一样范数（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量的一种。

矩阵的范数计算方式：计算矩阵的范数公式：║A║1=max。矩阵范数（matrixnorm）是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。

应用中常将有限维赋范向量空间当中的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可通过矩阵范数的形式表达。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由初作为一种工具经过两个多世纪的发展，目前已成为独立的一门数学分支-矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

向量绝对值向量的模的运算没有针对的法则，大多数情况下都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。多个向量的合成用正交分解法，假设要求模大多数情况下需先算出合成后的向量。模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以觉得就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。向量加绝对值是表示向量的大小，其实就是常说的向量的长度(或称模)，记作|a|。向量的模是非负实数，向量的模是可以相对较大小的

向量绝对值的求法，如

设向量a=（x，y）则向量a的绝对值等于xy的平方和的算术方根。