抛物线焦点弦长公式3个，抛物线弦长公式的推导

在拋物线中过焦点的直线与抛物线相交得到的两个交点当中的距离叫做抛物线的焦点弦，焦点弦长的方式是把直线方程与抛物线方程联立方程组得出两个交点的坐标，按照两点间的距离公式完全就能够得出这两点当中的距离即一过焦点的弦长

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。在抛物线y²=-2px中，d=p-(x1+x2)。在抛物线x²=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。在抛物线x²=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。

抛物线被直线所截的弦长公式是x1+x2+p，弦长公式大多数情况下指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式是数学、几何学中通过平切圆锥（一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线。

有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

弦长公式二：

抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物。

线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚。

x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2。

x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚。

直线的参数方程｛x = a+mt ，y=b+nt （t 为参数）中，唯有 m^2+n^2 = 1 时，t 才是直线上点（x，y）到点（a，b）的距离，故此，碰见没有满足时，第一要化成满足 m^2+n^2 = 1 。例如｛x = 2-1/2*t ，y = -1+1/2*t ，要改写成 ｛x = 2-√2/2*s ，y = -1+√2/2*s 才可以，这个时候 |s2-s1| 就是弦长了。而 t=√2*s ，故此， |s2-s1| = √2/2*|t2-t1| 。 至于 ｛x = 2+t ，y = 1+t ，要先写成 ｛x = 2+√2/2*s，y=1+√2/2*s （基本上等同于作变量代换 t = √2/2*s ），代入圆的方程，利用根与系数的关系得出 |s2-s1| 即为弦长 。

抛物线被直线所截的弦长公式是x1+x2+p，弦长公式大多数情况下指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式是数学、几何学中通过平切圆锥（一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线。有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

抛物线弦长公式是：

1、弦长=2Rsina R是半径,a是圆心角。

2、弧长L,半径R。 弦长=2Rsin(L*180/πR) 直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。 弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 这当中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。 PS：圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

抛物线的弦长公式ab=x1+x2+p,x1,x2为直线交于抛物线上的两点

椭圆的弦长公式与圆的弦长公式都一样,为ab=根号下(1+k的平方)*(x1-x2)的平方,k为直线的斜率,x1,x2为直线交于曲线上的两点

证明：

设抛物线为y^2=2px(p0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),

直线与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,

整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

由韦达定理知x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义,AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,BF=x2+p/2

故此，AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

公式一，AB＝X1＋X2＋P。直接利用抛物线定义就可以。AB＝AF＋BF＝X1＋P／2十X2＋p／2＝X1＋X2＋P。公式二。AB＝2P／Sinα平方。令x＝my＋p／2，（m＝COSα／Sinα）代入方程得y＾2－2mPy－p＾2＝0得丨y1－y2丨＝2根号下（1＋m＾2）×P。弦长AB＝丨y1-y2｜／Sinα＝2P／Sinα平方。

抛物线的焦点弦长公式有两个，一个是坐标形式的，一个是倾角形式的，设抛物线为y^2=2px。

（1）坐标形式：设过抛物线焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），按照抛物线定义可得AF=x1+p/2，BF=x2+p/2，则AB=x1+x2+p.

（2）倾斜角形式：是过焦点F的弦AB的倾斜角为α（设A点在上方），过A作x轴的垂线，则按照抛物线定义可以得到：AFcosα+p=AF，解得：AF=p/（1-cosα），同理可以得到：AF=p/（1+cosα），则焦点弦长为：AB=AF+BF=2p/sin^2α。

抛物线

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

故此，x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,

BF=x2+p/2

故此，AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

证毕！

已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦；则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

椭圆

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）

双曲线

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

抛物线

(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}



焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c是焦准距， e是离心率。

令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。当且仅当，时取|CD|小值2a。定理1 （配极理论的原则），若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。

补充

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而因为椭圆或双曲线上的点与焦点当中的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线当中的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因为这个原因，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

除开这点因为焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，不少问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)

过焦点弦两端点分别作准线垂线。由第二定义算得两距离分别是L1/e,L2/e，

cosθ =（L1/e-L2/e）/L1+L2

再按照试题已知L1和L2的比例和倾斜角与θ的关系代入就可以算得e

（双曲线，抛物线同理：过弦端点作准线垂线找关系）

抛物线焦点弦长（L=2p/(sina)^2）推导过程：设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

既然如此那，(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

既然如此那，|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。

在抛物线y²=-2px中，d=p-(x1+x2)。

在抛物线x²=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。

在抛物线x²=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。