高数题计算函数近似值用微分知识，什么时候选择使用泰勒公式的条件

应用泰勒展开公式：

当(-1ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+……

ln0.99=ln(1-0.01)=(-0.01)-(0.01)^2/2+(0.01)^3/3-(0.01)^4+……

取前二项：

ln0.99=ln(1-0.01)≈(-0.01)-(0.01)^2/2=-0.001005

泰勒公式是在一点处展开，函数一定要在那一点处n阶倒数存在，在x＝0处是麦克劳林展开式，大多数情况下在极限里面用的是麦克劳林展开公式，故此，一定要x趋于0时。

泰勒公式还给出了余项，即是这个多项式与函数当中的偏差，余项按照需有各种不一样的形式。

泰勒公式有不少作用，诸如求近似值、求极限、求参数取值、证明函数不等式等等。

(30)^(1/3)=(3^3+3)^(1/3)=3*(1+1/9)^(1/3)

全部的函数都可以够泰勒展开，没有条件。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。



扩展资料：

泰勒公式（Taylors formula）推导：

带peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用LHospital法则来推导，

f(x)=f(x0)+f(x0)/1!*(x-x0)+f(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关(x-x0)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x0)+f(x0)*(x-x0）+f(x0)/2!*(x-x0)^2,+f(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)

这当中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0当中，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘。）

使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。这当中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。

Taylor公式典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等

一个函数真值减去一个近似值（泰勒公式前n阶项），就是误差值（泰勒公式后一项）