高数方程通解公式微分方程通解公式

特点方程为s^2-4=0, s=2,s=-2，故此，通解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)

设特解为ke^x，则y=ke^x, y-4y=(k-4)e^x, k=5

故此，解为c1 e^(2x)+c2e^(-2x)+5e^x

非齐次的特解

设y*=e^(-x)(acosx+bsinx)

y*=-e^(-x)(acosx+bsinx)+e^(-x)(-asinx+bcosx)

=e^(-x)(-acosx+bcosx-bsinx-asinx)

=e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]

y*=-e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]+e^(-x)[(a-b)sinx-(a+b)cosx]

=e^(-x)(-2acosx-2bsinx)

定义

针对一个微分方程来说，其解时常不止一个，而是有一组，可以表示这一组中全部解或者部分解的统一形式，称为通解（general solution）。对一个微分方程来说，它的解会涵盖一部分常数，针对n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

求微分方程通解的方式有不少种，如：特点线法，分离变量法及特殊函数法等等。而针对非齐次方程来说，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，完全就能够得到非齐次方程的通解。

e-|p(x)dx * (|q(x)*e|p(x) dx+C) |符号是积分号，e右边的|p（x）或-|p（x）是指数的阶数

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，这当中：a、b由初始条件确定。

请看下方具体内容例题

全微分方程通解公式：udx+vdy=0。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割

一阶微分方程假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答若式子可变形为y=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分解答二阶微分方程y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2. 　　1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

(1)y=x (2)t^2+1=0 t=+-i y+y=0=y=Asinx+Bcosx y=0.5exp(x)特解y=0.5exp(x)+Asinx+Bcosx结合欧拉折线和线素场，我们完全就能够启动分析通解、特解和全部解了。4 通解、特解和全部解4.1 通过欧拉折线来观察解我们通过来继续介绍。这个微分方程的通解还是比较容易求的，就是：知。

因为M个变量，需M个个管束条件才可以都解出。由此，在变量一样的条件下，多一个管束条件f(y),完全就能够多确定一个解，此解就称为【特解】。求微分方程通解的方式：方求一阶微分方程通解和特解注：±C也可以当成新的C 一、把y换成dy/dx,dy与y放等式左边，dx与x放等式右边，对两边同时求不定积分。针对求特解的，还需要把给出的点带进。

微分方程的通解和特解：



微分方程的通解中大多数情况下包含任意常数，微分方程的特解大多数情况下包含特定常数。

比如xy=8x^2的特解是y=4x^2，xy=8x^2的通解是=4x^2+C，C是任意常数。



计算微分方程的通解有不少方法，比如特点线法，还有特殊函数法和分离变量法。针对非齐次方程来说，任何一个非齐次方程的特解，加上一个齐次方程的通解，可以得出非齐次方程的通解。

微分方程的研究来源很广泛，拥有较长时间的历史。牛顿还有莱布尼茨创造微分，还有积分的运算时，指出了两者的互逆性，这是如何处理简易的微分方程y=f(x)，如何解答的方式。当大众用微积分去研究几何学还有物理学，还有力学问题时，微分方程持续性涌现，如井喷大多数情况下。



牛顿已经处理了二体问题，在太阳的引力作用下，一个单一的行星是什么样运动的。牛顿把这两个物体都进行理想化设想，作为质点，得出三个未知函数的三个二阶方程组，通过简单的运算证明，可以变为平面问题，其实就是常说的两个未知函数的两个二阶微分方程组，用名为第一次积分的计算方式，处理了如何解答。

方程a0x+a1x+…+an=0 (a0≠0)

您是不是指得这个公式： 方程udx+vdy=0假设满足du/dy=dv/dx则为全微分方程（简单方便起见偏导我也用导数表示了），其通解为∫udx+∫vdy=0。

这个没什么好推导的，直接带进去就行了。对原方程两端同时乘以du/dy，注意到du/dy=dv/dx，原式可化为udv+vdu=0，注意到d(uv)=udv+vdu，

故此，原式可化为d(uv)=0，直接积分就可得uv=C为原方程的通解，这当中C为还未确定常数，等价于∫udx+∫vdy=0。全微分方程之故此，被叫做全微分方程，就是因为方程可以化为d(f(x,y))=0的形式，其实就是常说的说可以化为二元函数f(x,y)的全微分等于0的形式，方程通解就是f(x,y)=C。

大多数情况下情况下解全微分方程没有用公式的，只要你把方程化为d(f(x,y))=0的形式，既然如此那，通解就是f(x,y)=C。

全微分方程通解公式：udx+vdy=0。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割

使用“实变量复函数”可以对方程解答(参见数学分析新讲，张筑生，北大)，解是两个“实变量复函数”。

举例子：解答复系数二阶齐次常微分方程

y-3iy-2y=0

利用特点方程t^2-3i*t-2=0得

两个解为

t(1)=i=0+i,t(2)=2i=0+2i

故此，微分方程的复解为

y(1)=e^0(cosx+i*sinx)=cosx+i*sinx

y(2)=e^0(cos2x+i*sin2x)=cos2x+i*sin2x

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次线性微分方程的通解加上二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。对应的齐次线性微分方程的通解可以通过代数方式解答特点方程后得出。而一个特解相对来说就稍微难些。不过一部分特殊情形下的特解大多数情况下考试教材上都拥有阐述。

通解公式请看下方具体内容：齐次线性方程组AX=0：若X1，X2，Xn-r为基础解系，则X=k1X1＋k2X2+kn-rXn-r，即为AX=0的都解（或称方程组的通解）。

求齐次线性方程组通解要先求基础解系：1、写出齐次方程组的系数矩阵A；2、将A通过初等行变换化为阶梯阵；3、把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n–r个）；d令自由元中一个为1，其余为0，求得n–r个解向量，即为一个基础解系

通过一定程度上变换将二阶常系数非齐次线性方程转化为一阶线性问题,以此得到通解公式,并将此法推广到n 阶常系数非齐次线性方程中去