三角形内心面积法，向量内积公式的推导

过三角形内心分别向三角形三边作垂线，然后把把原三角形三边做为三角形底，按照三角形面积公式得出，即把原三角形分成三个三角形，得出三个三角形面积之和，就是原三角形的面积。

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心.

直角三角形的内心公式：r＝（a＋b－c）/2（a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边）

三角形的内心公式：r＝2s/l（s为三角形的面积，l为三角形的周长

例子：在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明：O为三角形ABC内心.

　　在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明：O为三角形ABC内心.

　　在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下都为向量

　　故此，OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得：

　　aOA+bOB+cOC=0

　　故此，,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0

　　又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,故此，不妨设,OD=kOC

　　原式变为：(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0

　　故此，,aDA=-bDB,故此，DA与DB的长度之比为b/a,故此，CD为角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.

第一证明这个结论：O是ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0 （均表示向量）证明:OB=OA+AB,OC=OA+AC,代入aOA+bOB+cOC=0中得到：AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)而|AC|=b,|AB|=c故此，AO=bc/(a+b+c) * (AB/|AB|+AC/|AC|)而由平行四边形法则值(AB/|AB|+AC/|AC|)与BAC交角平分线共线故此，AO经过内心同理BO,CO也经过内心,故此，O为内心反之亦然,就不证了清楚这个结论后设ABC的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c内心为O(x,y)则有aOA+bOB+cOC=0（三个向量） MA=(x1-x,y1-y) MB=(x2-x,y2-y) MC=(x3-x,y3-y) 则：a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0,a(y1-y)+b(y2-y)+c(y3-y)=0 ∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c) ∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))

三角形内心的视角怎么

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心.

直角三角形的内心公式：r＝（a＋b－c）/2（a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边）

三角形的内心公式：r＝2s/l（s为三角形的面积，l为三角形的周长

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直角三角形的内心公式:r=(a+b-c)/2(a、b为直角三角形的两条直角边,c为斜边)

设△ABC的三边分别是a、b、c,面积为S,内切圆半径为r,则：

1/2ar＋1/2br＋1/2cr＝S

∴r＝2S/(a＋b＋c)

那就是三角形中内切圆半径的计算公式,即三角形中内切圆半径等于面积的2倍除以周长

三角形来的外心公式：r＝c/2，c为直自角三角形的斜边。

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心其实就是常说的三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

直角三角形的内心公式：r＝（a＋b－c）/2，a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

三角形的内心公式：r＝2s/l，s为三角形的面积，l为三角形的周长。设外心P坐标(x，y)

AB、BC中点为D、E

由向量PD⊥向量AB，向量PE⊥向量BC，

可得x、y的二元一次方程组，

解之就可以。

详细公式可能太长，实质上不用记住的

1、三角形内心是三角形内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，作图时只要能画2条角平分线

2、内心到三边的距离相等，都等于内切圆的半径

3、三角形内切圆半径的求法

大多数情况下的：r=2s/c

(面积的2倍除以周长)

特殊的：

直角三角形：r=1/2(a+b-c)

等腰三角形：r/(1/2底)=(高-r)/腰

内心的公式是：设重心H（X0，Y0）则X0=(X1+X2+X3)/3 Y0=(X1+X2+X3)/3

三角形内心坐标公式是：M（（aX1+bX2+cX3）/（a+b+c），（aY1+bY2+cY3）/（a+b+c））。设在三角形ABC中，三顶点的坐标为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），BC=a，CA=b，AB=c，内心为M（X，Y）。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。

这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。

内心是角平分线的交点，到三边距离相等. 设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c内心为M （X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量） MA=（X1-X，Y1-Y） MB=(X2-X,Y2-Y) MC=(X3-X,Y3-Y) 则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0，a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0 ∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c) ∴M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）

心理年龄是心理学“智力测验”中的术语，指按照标准化智力测验量表测得的结果来衡量人体的智力水平，把心理学年龄与历法年龄相对照，就可以看出智力绝对水平的高低。

心理年龄是指人的整体心理特点所表露的年龄特点，与实质上年龄依然不会一模一样。人的一生共经历8个心理时期，即胎儿期、乳儿期、幼儿期、学龄期、青少年期、青年期、中年期、老年期。每个心理年龄期都拥有不一样的心理特点，如幼儿期天真活泼；青少年期自我意识提高，身心飞跃突变，心理活动进入剧烈动荡期；进入老年期，心理活动趋向成熟稳定、老成持重、身心功能弹性降低、情感容易倾向忧郁、猜疑。自测表是测试每个人的心理年龄的量表。

心理商数(IQ)同心理年龄有一关系式。 IQ的公式：IQ=(心理年龄/实质上年龄)×100