分块矩阵的逆矩阵公式，分块矩阵次对角线行列式

大多数情况下的分块矩阵的逆没有公式 对特殊的分块矩阵有: diag(A1,A2,...,Ak)^-1 = diag(A1^-1,A2^-1,...,Ak^-1). 斜对角形式的分块矩阵如: 0 A B 0 的逆 = 0 B^-1 A^-1 0 可推广. A B 0 D 的逆 = A^-1 -A^-1BD^-1 0 D^-1 A 0 C D 的逆 = A^-1 0 D^-1CA^-1 D^-1

分块矩阵行列式这个计算公式可以请看下方具体内容证明:

1、行列式的Laplace定理：设D是n阶行列式，在D中选定k行，1=k=n-1，由这k行元素组成的我们全体k阶子式记为M1，M2，......，Mt，且Mi的代数余子式为Ai，1=i=t。

2、则：D = M1*A1+M2*A2+......+Mt*At。针对矩阵P=[A C；0 B]，A是s阶方阵，选定P的前s行，这s行元素组成的我们全体s阶子式中不为0的就是det(A)。

3、因为这个原因P的行列式就是det(A)乘以A的代数余子式，其代数余子式就是det(B)。故此，有： det(P) = det(A)*det(B).

将一个矩阵用若干条横线和竖线分成不少个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

比如，

这当中E1，E3分别表示1阶、3阶单位矩阵，O表示1×3的零矩阵，而

。

同一个矩阵可以有各种不一样的分块方式，以此形成不一样的分块矩阵。比如上例的矩阵也可以分成也可以分成

这当中E2表示2阶单位矩阵，O表示2阶零矩阵，而

。

分块矩阵行列式这个计算公式可以请看下方具体内容证明:

1、行列式的Laplace定理：设D是n阶行列式，在D中选定k行，1=k=n-1，由这k行元素组成的我们全体k阶子式记为M1，M2，......，Mt，且Mi的代数余子式为Ai，1=i=t。

2、则：D = M1*A1+M2*A2+......+Mt*At。针对矩阵P=[A C；0 B]，A是s阶方阵，选定P的前s行，这s行元素组成的我们全体s阶子式中不为0的就是det(A)。

3、因为这个原因P的行列式就是det(A)乘以A的代数余子式，其代数余子式就是det(B)。故此，有： det(P) = det(A)*det(B).

对矩阵进行一定程度上分块，能够让高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，以此可以大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。

分块矩阵是一个矩阵， 它是把矩阵分别根据横竖分割成一部分小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。