曲率参数方程推导，双曲线的曲率公式推导

曲率(k):描述曲线下降长度随的视角变化，k=limα→0∣∣ΔαΔs∣∣k=limα→0⁡|ΔαΔs|

R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f′′R=1k=[1+(dydx)2]32d2ydx2=[1+(f′)2]32f″ （1）

曲率半径计算公式

推导过程

曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆的半径，在limΔs→0ΔαΔs=dαdslimΔs→0⁡ΔαΔs=dαds存在的条件下，k=∣∣dαds∣∣k=|dαds|。

设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。因为tanα = y’(设-ππ/2αππ/2)，故此，

a=arctany’

dαdx=(arctany′)′dαdx=(arctany′)′

dα=(arctany′)′dx=y′′1+y′2dxdα=(arctan⁡y′)′dx=y″1+y′2dx

或者

sec2αdα=y''dx，

dα=y′′sec2αdx=y′′1+tan2αdx=y′′1+y′2dxdα=y″sec2αdx=y″1+tan2αdx=y″1+y′2dx

3. 因为 ds=1+y′2−−−−−−√dxds=1+y′2dx(密切圆面积求导)，以此得到曲率公式k=f′′[1+(f′)2]32k=f″[1+(f′)2]32。

双曲线曲率公式推导：

由双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1。

当x≠0时，可得y/x=±√[(b^2/a^2)+(b/x)^2]。

当x→±∞时，b/x=0 得 y/x=±√(b^2/a^2) 。

即x→±∞得双曲线的渐近线方程为：y=±bx/a。

简介

在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其处理方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。

双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的情况特殊）假设平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

曲率k=y''/[(1+(y')^2)^(3/2)],这当中y',y"分别是函数y对x的一阶和二阶导数。

1、设曲线r(t) =(x(t),y(t)),曲率k=(x'y" - x"y')/((x')^2 + (y')^2)^(3/2).

曲率半径

数学术语

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表达曲线偏离直线的程度。针对曲线，它等于接近该点处曲线的圆弧的半径。针对表面，曲率半径是合适正常截面或其组合的圆的半径。

基本信息

中文名

曲率半径

外文名

radius of curvature

定义

曲率的倒数

简介

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都差不多的故曲率半径就是该圆的半径；直线不弯曲，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，故此，曲率是0，故直线没有曲率半径，或记曲率半径为∞。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。故此，说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

假设针对某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，既然如此那，曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。也可这样理解：就是把那一段曲线尽量地微分，直到后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。

公式推导

在空间曲线的情况下，曲率半径是曲率向量的长度。在平面曲线的情况下，则R要取绝对值。

这当中s是曲线上固定点的弧长，φ是切向角，κ是曲率。

假设曲线以笛卡尔坐标表示为，则曲率半径为（假设曲线可微分）

假设曲线由函数 和 参数给出，则曲率半径为

其实，这个结果可以解释为

这里。

假设 是 中的参数曲线，则曲线各点处的曲率半径 由下式给出：

作为情况特殊，假设f（t）是从R到R的函数，则其图的曲率半径γ（t）=（t，f（t））是

举例

半圆圈

针对上半平面半径a的半圆：

针对上半平面半径a的半圆：

半径a的圆的曲率半径等于a。

椭圆

在具有长轴2a和短轴2b的椭圆中，长轴上的顶点具有任何点的小曲率半径， ；

并且短轴上的顶点具有任何点的大曲率半径。

应用

（1）针对差分几何上的应用，请参阅Cesàro方程；

（2）针对地球的曲率半径（由椭圆椭圆近似），请参见地球的曲率半径；

（3）曲率半径也用于梁的弯曲3个部分方程中；

（4）曲率半径（光学）。

（5）半导体结构中的应力：

涉及蒸发薄膜的半导体结构中的应力一般来自制造途中的热膨胀（热应力）。出现热应力是因为膜沉积一般在室温以上。在从沉积温度冷却至室温时，基板和膜的热膨胀系数的差异导致热应力。

当原子沉积在基底上时，由薄膜中形成的微观结构导致固有应力。因为原子穿过空隙有吸引力的相互作用，薄膜中的微孔出现拉伸应力。

薄膜半导体结构中的应力致使晶片的翘曲。应力结构的曲率半径与结构中的应力张量相关，可以用修正的Stoney公式来描述。可以使用光学扫描仪测量涵盖曲率半径的应力结构的形貌。现代扫描仪工具具有测量基板全貌和测量两个主曲率半径的能力，同时为90米或者以上的曲率半径提供0.1%的精度。

曲率中心坐标，曲线上任一点对应的曲率中心坐标公式的推导过程请看下方具体内容：曲线上点M处的曲率的倒数，称作曲线在这点处的曲率半径，记作p ,则在点M处曲线的法线的某一侧上取一点D，使|DM|=p，并以D为圆心，以p为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率中心。

曲率圆方程的表达式：（x-α）^2+(x-β）^2=R^2。

曲率圆，又称密切圆。在曲线上一点M的法线上，在凹的一侧取一点D，使DM等于该点处的曲率半径，以D为圆心，DM为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆。在点M附近，曲率圆弧与曲线弧密切程度很好，故此，曲率圆又叫密切圆。

在动力学中，大多数情况下的，一个物体对比另一个物体做变速运动时也会出现曲率。这是有关时空扭曲导致的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而出现曲率。

曲率中心坐标公式推导请看下方具体内容：

第一需假设曲率k=y/[(1+(y)^2)^(3/2)]，在前面的式子中，可以假设这当中y,y分别是函数y对x的一阶和二阶导数。

1、需进行假设曲线r(t) =(x(t),y(t)),曲率k=(xy - xy)/((x)^2 + (y)^2)^(3/2)，然后进行求导得到第2个步骤。

2、设曲线r(t)为三维向量函数,曲率k=|r×r|/(|r|)^(3/2)，|x|表示向量x的长度，数学X的长度大多取为1。

3、解下来可以向量a,b的外积,若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。

曲率圆的圆心坐标没有详细公式，只可以通半径得出来 曲线该点求斜率 得出法线方程 由该点坐标和半径完全就能够得出圆心坐标。

曲率k=y/[(1+(y)^2)^(3/2)],这当中y,y分别是函数y对x的一阶和二阶导数。

1、设曲线r(t) =(x(t),y(t)),曲率k=(xy - xy)/((x)^2 + (y)^2)^(3/2).

2、设曲线r(t)为三维向量函数,曲率k=|r×r|/(|r|)^(3/2),|x|表示向量x的长度。

3、向量a,b的外积,若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1).

在某点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点O ，点O到曲线上该点的距离等于这个方向的曲率半径r，使以O为圆心，r为曲率半径作圆，这个圆叫做曲线在点处的曲率圆，曲率圆的圆心叫做曲线在点处的曲率中心。

曲率中心，英文名：centre of curvature，在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 ，使以O为圆心，R为半径作圆，这个圆包含这一点及其相邻的那一小段圆弧，这个圆叫做曲线在点处的曲率圆，曲率圆的圆心叫做曲线在点处的曲率中心。说白了，就是在曲线上某一点找到一个和它内切的圆，它的圆心即为曲率中心。

函数y=f(x)的曲率中心D(m，n）为：

m=x-y(y^2+1)/y

n=y+(y^2+1)/y

这个参数方程也是函数的渐趋线的方程。

曲率k=y/[(1+(y)^2)^(3/2)]，这当中y, y分别是函数y对x的一阶和二阶导数(函数形式)。曲率计算公式的推导过程请看下方具体内容：曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表达曲线偏离直线的程度。

数学上表达曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。扩展资料：曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不一样的几何体有不一样的意义。在动力学中，大多数情况下的，一个物体对比另一个物体做变速运动时也会出现曲率。这是有关时空扭曲导致的。

结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而出现曲率。根据广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，导致了时空的弯曲。因为一个物体有质量就可以对时空导致弯曲，而你可以觉得有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。在物理中，曲率一般通过法向加速度（向心加速度）来求，详细请参见法向加速度

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|，证明请看下方具体内容：

1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆（Osculating circle）的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径大的（例如在椭圆长轴顶点处），也许是与曲线在该点相外切的圆中半径小的（例如在椭圆短轴顶点处），也许两者都不是。