混合积的计算，向量混合积的运算顺序

混合积的计算？

混合积的运算法则：d=(a×b)，三重积又称混合积是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方式将三个向量相乘，得到三重积，分又称作标量三重积和向量三重积。三重积，又称混合积是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方式将三个向量相乘，得到三重积，分又称作标量三重积和向量三重积。

向量混合积先点乘还是先叉乘？

叉乘点乘混合运算公式：混合积具有轮换对称性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(a,c,b)=-(c,b,a)=-(b,a,c)。

叉乘点乘混合运算公式

1混合运算公式

混合积具有轮换对称性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(a,c,b)=-(c,b,a)=-(b,a,c)

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）唯有大小，没有方向。

2向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明请看下方具体内容：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，故此，|a·b|≤|a|·|b|）

3向量的数量积与实数运算的主要不一样点

1．向量的数量积没有满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；比如：(a·b)²≠a²·b²。

2．向量的数量积没有满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|与|a|·|b|不等价。

4．由|a|=|b|不可以推出a=b，也不可以推出a=-b，但反过来则成立。

4叉乘和点乘的运算法则

点乘

点乘，也叫向量的内积、数量积。从名字中我们就可以看得出来，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cosa,b

在物理学中，已知力与位移求功，其实就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

叉乘

叉乘，也叫向量的外积、向量积。从名字中我们就可以看得出来，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sina,b

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝开始心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因为这个原因向量的外积不遵循乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

为什么向量混合积等于三个向量排成的行列式？

是三个向量的混合积为零； abc＝（aXb）·c； 两个向量a，b叉乘，得到第三个向量d，则d垂直a、b所构成平面； 故此，c与a、b共面，则c垂直d点乘为零，即abc＝0． 有向量a，b，c，按照混合积的几何意义就可以清楚的知道｜（a×b）·c｜是以｜a｜，｜b｜，｜c｜为棱的平行六面体体积． 既然，行列式为0，说明体积为0．体积为0可以理解成是高为0，高为0那麼就说明是平面图形，abc共面． 当共面时a×b是与abc所在平面垂直的，那麼a×b与c垂直，故此，点乘为0。 以此混合积（a，b，c）的符号是正还是负主要还是看∠（a×b，c）是锐角还是钝角，即a×b与c是指向a。 b所在平面的同侧还是异侧，这基本上等同于a，b，c三个向量依序构成右手系还是左手系”，而混合积（a，b，c）就是一个三阶行列式。

是三个向量的混合积为零；abc＝（aXb）·c；两个向量a，b叉乘，得到第三个向量d，则d垂直a、b所构成平面；故此，c与a、b共面，则c垂直d点乘为零，即abc＝0．有向量a，b，c，按照混合积的几何意义就可以清楚的知道｜（a×b）·c｜是以｜a｜，｜b｜，｜c｜为棱的平行六面体体积．既然，行列式为0，说明体积为0．体积为0可以理解成是高为0，高为0那麼就说明是平面图形，abc共面．当共面时a×b是与abc所在平面垂直的，那麼a×b与c垂直，故此，点乘为0。以此混合积（a，b，c）的符号是正还是负主要还是看∠（a×b，c）是锐角还是钝角，即a×b与c是指向a。b所在平面的同侧还是异侧，这基本上等同于a，b，c三个向量依序构成右手系还是左手系”，而混合积（a，b，c）就是一个三阶行列式。扩展资料举例子：已知以ABC三个向量为棱的平行六面体，怎么算它的体积？向量混合积不会算，清楚V平行六面体＝ABC三个向量积的，行列式：解：用向量混合积算．体积V＝A点乘（B叉乘C）。设A＝（A1，A2，A3）B＝（B1，B2，B3）C＝（C1，C2，C3）。V＝｜ABC｜＝A1B2C2＋A2B3C1＋A3B1C2－C1B2A3－A2B1C3－A1B3C2。3×3行列式“＼”方向的数相乘相加减去“／”方向的数相乘相减。

混合积的计算方式例题？

我们先回到混合积的定义式：

[a b c]=(axb)·c

第一，括号里面是以一个向量作为结果，后面再与外面的向量c进行点积运算，因为这个原因，混合积运算的结果是一个详细的数值（标量）。既然如此那，混合积的坐标表达式是什么呢？混合积是根据叉积和点积的，其实就是常说的说，我们只将点积与叉积的坐标表达式进行整合，完全就能够到处混合积的坐标表达式，促进后面的计算与应用。

为什么三个向量共面混合积为零？

混合积为0说明向量共面，向量是可以平移的，两个向量依然不会能唯一确定一个平面。三个向量的混合积计算的是平行六面体的体积，假设混合积为零说明平行六面体的高为0，以此得出这是一个平面。

三重积，又称混合积是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方式将三个向量相乘，得到三重积，分又称作标量三重积和向量三重积。设a、b、c是空间中三个向量，则(a×b)·c称为三个向量a、b、c的混合积，记作[abc]或(a，b，c)或(abc)。

是三个向量的混合积为零；abc=（aXb）·c；两个向量a,b叉乘,得到第三个向量d,则d垂直a、b所构成平面；故此，c与a、b共面，,则c垂直d点乘为零,即abc=0.

向量积有交换律吗？

向量的数量积（又称为点乘或内积）满足交换律：a·b=b·a，

这是因为 等号两边都等于|a||b|cosa,b。

三个向量没有数量积运算，比如 a·b·c没有意义：前两个向量的运算结果是一个数，数和向量当中的运算称为“数乘向量”，而数与向量当中不可能进行数量积运算。

三个向量可以进行请看下方具体内容运算：(a·b)c。

高等数学中还需要学习向量的向量积（又称为外积、叉乘等），那时任意有限多个向量当中都可以进行这样的运算；三个向量还能进行向量积与数量积的混合运算。

向量内积有交换律。因为a·b=b·a=|a||b|cosa,b

两个向量的外积等于什么？

把向量外积定义为：|a ×b| = |a|·|b|·sin.方向按照右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心由a转向b的途中，大拇指的方向就是外积的方向。

基本信息

定义

把向量外积定义为：

|a × b| = | a|·| b|·sin a, b.

方向按照右手法则确定，就是手掌立在 a、 b所在平面的向量 a上，掌心向 b，既然如此那，大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。

运算

向量外积的代数运算形式为：

| e(i) e(j) e(k)|

a× b=| x(a) y(a) z(a) |

| x(b) y(b) z(b) |

这个行列式，根据第一行展开。 e表示标准单位基。

分配律的几何证明方式很麻烦，大意是用作图的方式验证。有兴趣，请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方式。我们假定已经了解了：

1）外积的反对称性：

a× b= - b× a.

这由外积的定义是明显的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·（ b+ c）= a· b+ a· c,

（ a+ b）· c= a· c+ b· c.

这由内积的定义 a· b= | a|·| b|·cos a, b；，用投影的方式不难得到证明。

3）混合积的性质：

定义（ a× b）· c为向量 a, b, c的混合积，容易证明：

i) （ a× b）· c的绝对值正是以 a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由 a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

以此就推出：

ii) a·（ b×c） =b·（ c×a） =c·（ a×b）

故此，我们可以记 a, b, c的混合积为（ a, b, c）

推理

由i）还可以推出：

iii) （ a, b, c）= （ b, c, a）= （ c, a, b）

还有一条结论：

iv) 若一个向量 a同时垂直于三个不共面矢 a1, a2, a3，则a为零向量或高维空间向量。

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

设r为空间任意向量，在 r·[ a×（ b + c）]里，交叉替换两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有

r·[ a×（ b+ c）]

= （ r× a）·（ b + c）

= （ r× a）· b + （ r× a）· c

= r·（ a× b）+ r·（ a× c）

= r·（ a× b + a× c）

移项，再利用数积分配律，得

r·[ a×（ b + c）- （ a× b + a× c）] = 0

这说明向量 a×（ b + c）- （ a× b + a× c）垂直于任意一个向量。按3）的iv），这个向量必为零向量，即

a×（ b + c）- （ a× b + a× c）= 0

故此，有

a×（ b + c）= a× b + a× c.

证毕。

三向量的外积

a×（ b×c） =（ a·c） b-（ a·b） c。