皮亚诺形余项泰勒公式，泰勒公式的余项怎么求
皮亚诺形余项泰勒公式？
带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：
f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)
而x0→0时,
f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。
泰勒公式余项是如何得到的？
规律：次数小的合并次数大的，即O(x^m+x^n)=O(x^m)，假设m≤n。
故此，O((2x-x^2)^2)=O(4x^2-4x^3+x^4)=O(x^2)。
带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：f(x)=f(x0)+(x-x0) * f(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)
而x0→0时，f(x)=f(0)+ x * f(0)/1!+ x^2 * f(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)
用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。
扩展资料：
将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用有关（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方式。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a，b]上具有n阶导数，且在开区间（a，b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a，b]上任意一点x，成立。
f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩下的Rn（x）是泰勒公式的余项是（x-x0）n的高阶无穷小。
误差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趋向于0，故此，在近似计算中时常不够精确。于是我们需一个可以足够精确的且能估计出误差的多项式。
(x)=f(a)+f(a)(x-a)/1!+f(a)(x-a)^2/2!+……+f(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)[这当中f(n)是f的n阶导数]泰勒余项可以写成以下几种不一样的形式：
1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x)=o((x-a)^n)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x)=f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)
]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x)=f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)
]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x)=f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n(x-a)^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)
]5.积分余项：Rn(x)=[f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)是f的n+1阶导数]
拉格朗日余项与佩亚诺余项究竟有哪些差别?应分别那些情况下使用?有哪些限制范围？
拉格朗日余项和佩亚诺余项的差别是：在是函数和各阶导数的关系时两者都可以使用，假设函数次数很低，用拉格朗日余项；函数次数非常高，用佩亚诺余项。没有任何要求和限制范围。佩亚诺余项的意义在于x趋近于0时，满足拉格朗日余项是前者的高阶无穷小量。假设函数的次数很低且x不是在0的小领域内讨论，则依然不会很合适用带佩亚诺余项的麦克劳林公式。扩展资料：泰勒展开式的重要性反映在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因为这个原因求和函数相对比较容易。
2、一个剖析解读函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的剖析解读函数，并让复分析这样的手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求还未确定式的极限。
怎样理解泰勒公式中的余项？
1、佩亚诺（Peano）余项：这里只n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：这当中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）。
3、拉格朗日（Lagrange）余项：这当中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：这当中θ∈（0,1）。
5、积分余项：这当中以上很多余项其实不少是等价的。扩展资料：经常会用到的公式：这当中表示f（x）的n阶导数。当这当中δ在0与x当中时，公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式。当且n阶导数存在时，公式称为带佩亚诺型的n阶麦克劳林公式。
泰勒中值定理12区别？
总结历次经验来说，泰勒中值定理是泰勒公式的一种。
第一，要明白什么是中值定理，从名字中我们就可以看得出来，就是要对“中间”的“值”来说的，即某函数在某区间的某一点或几点上存在的性质。常表达为：“在[ ，]上必存在点（或至少存在一值）m，让……成立。”
其次，泰勒公式常见的可分为两类，区分标准主要反映在余项上。按余项分类，泰勒公式分两种：一种是带有拉格朗日型余项的，这种类型的表达中有“在某区间上存在某值让某式成立”的含义，故此，属于泰勒中值定理。而另一种（带有佩亚诺余项的），后一项仅仅用等价无穷小代替了，不可以算是中值定理。
（说的比较零碎，期望能帮到你！！！）
泰勒公式的余项可以为零吗？可以，具体是什么时候？
大多数情况下来说，用泰勒公式求极限时用佩亚诺型余项，而分析误差时（例如求e的精确值）用拉格朗日型余项
求高数中的马克劳林公式？
麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在这里区间内时，可以展开为一个有关x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn 这当中Rn是公式的余项，可以是请看下方具体内容： 1.佩亚诺(Peano)余项： Rn(x) = o(x^n) 2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余项： Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余项： Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 5.积分余项： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数]我是学渣 粘贴复制望采纳~
