抛物线弦长推导公式，抛物线弦长公式适用范围

在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。在抛物线y²=-2px中，d=p-(x1+x2)。在抛物线x²=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。在抛物线x²=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。

只要是给定的斜率为k的直线上两点,其距离都可以用此公式计算.你可以用两点间的距离公式推导!因为一般用来计算直线被圆锥曲线截得的弦长,故此，叫弦长公式

抛物线被直线所截的弦长公式是x1+x2+p，弦长公式大多数情况下指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式是数学、几何学中通过平切圆锥（一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线。

有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

弦长公式二：

抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物。

线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚。

x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2。

x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚。

直线的参数方程｛x = a+mt ，y=b+nt （t 为参数）中，唯有 m^2+n^2 = 1 时，t 才是直线上点（x，y）到点（a，b）的距离，故此，碰见没有满足时，第一要化成满足 m^2+n^2 = 1 。例如｛x = 2-1/2*t ，y = -1+1/2*t ，要改写成 ｛x = 2-√2/2*s ，y = -1+√2/2*s 才可以，这个时候 |s2-s1| 就是弦长了。而 t=√2*s ，故此， |s2-s1| = √2/2*|t2-t1| 。 至于 ｛x = 2+t ，y = 1+t ，要先写成 ｛x = 2+√2/2*s，y=1+√2/2*s （基本上等同于作变量代换 t = √2/2*s ），代入圆的方程，利用根与系数的关系得出 |s2-s1| 即为弦长 。

抛物线被直线所截的弦长公式是x1+x2+p，弦长公式大多数情况下指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式是数学、几何学中通过平切圆锥（一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线。有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

公式一，AB＝X1＋X2＋P。直接利用抛物线定义就可以。AB＝AF＋BF＝X1＋P／2十X2＋p／2＝X1＋X2＋P。公式二。AB＝2P／Sinα平方。令x＝my＋p／2，（m＝COSα／Sinα）代入方程得y＾2－2mPy－p＾2＝0得丨y1－y2丨＝2根号下（1＋m＾2）×P。弦长AB＝丨y1-y2｜／Sinα＝2P／Sinα平方。

抛物线的焦点弦长公式有两个，一个是坐标形式的，一个是倾角形式的，设抛物线为y^2=2px。

（1）坐标形式：设过抛物线焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），按照抛物线定义可得AF=x1+p/2，BF=x2+p/2，则AB=x1+x2+p.

（2）倾斜角形式：是过焦点F的弦AB的倾斜角为α（设A点在上方），过A作x轴的垂线，则按照抛物线定义可以得到：AFcosα+p=AF，解得：AF=p/（1-cosα），同理可以得到：AF=p/（1+cosα），则焦点弦长为：AB=AF+BF=2p/sin^2α。

抛物线

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

故此，x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,

BF=x2+p/2

故此，AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

证毕！

已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦；则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

椭圆

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）

双曲线

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

抛物线

(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}



焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c是焦准距， e是离心率。

令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。当且仅当，时取|CD|小值2a。定理1 （配极理论的原则），若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。

补充

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而因为椭圆或双曲线上的点与焦点当中的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线当中的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因为这个原因，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

除开这点因为焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，不少问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)

过焦点弦两端点分别作准线垂线。由第二定义算得两距离分别是L1/e,L2/e，

cosθ =（L1/e-L2/e）/L1+L2

再按照试题已知L1和L2的比例和倾斜角与θ的关系代入就可以算得e

（双曲线，抛物线同理：过弦端点作准线垂线找关系）

抛物线焦点弦长（L=2p/(sina)^2）推导过程：设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）

(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)

即直线为y=tanαx-ptanα/2

联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

既然如此那，(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

既然如此那，|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

解:解由抛物线的二次.函数剖析解读式和直线方程的剖析解读式组成的方程组，解答出抛物线和直线的两个交点坐标值，然后由两点当中的距离公式完全就能够得出截得的弦的长度了。

也可先在平面直角坐标系中分别画出抛物线和直线的图像，然后找出两个相交点的坐标值，同样用两点间的距离公式完全就能够算出所截的弦的长度了。

抛物线通径是焦准距的2倍。即2P。以标准方程y＾2＝2PX作为例子。通径是指过焦点垂直对称轴焦点弦。也是短的焦点弦。方式一，令X＝P／2得出y＾2＝p＾2，可求岀y＝±p，故此，焦点弦长＝2P，法二是，焦点弦长＝X1十X2十P。因为焦点弦垂直对称轴。则X1＝X2＝p／2。故此，弦长为2p。

通径公式是2P。

联结椭圆上任意两点的线段叫作这个椭圆的弦，通过焦点的弦叫作这个椭圆的焦点弦(故此，椭圆的长轴也是焦点弦)，和长轴垂直的焦点弦叫作这个椭圆的通径(正焦弦)。抛物线的通径,就是过焦点做对称轴的垂线和抛物线两个交点当中长度 y²=2px 焦点(p/2,0) 对称轴y=0。

通径：

通径亦称正通径、首通径、直焦弦、主焦弦、正焦弦。过圆锥曲线的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为通径，清代明安图割环密率捷法中，称圆的直径为通径。

过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,连结这两交点的线段称为抛物线的通径,它的长为2p,这也是抛物线标准方程中2p的几何意义。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有不少表示方式，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在适合的坐标变换下，也可以看成二次函数图像。

弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。

弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

中文名

弦长公式

外文名

Chord length formula

类型

概念,公式

类别

定理

应用学科

数学

圆的弦长公式是1、弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角2、弧长L,半径R弦长=2Rsin(L*180/πR)直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式.弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 　　这当中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号

圆的弦长公式是：

1、弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角。

2、弧长L,半径R。弦长=2Rsin(L*180/πR)直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]这当中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,││为绝对值符号,√为根号。PS：圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一部分曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

有关直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方式是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为有关x（或有关y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式得出弦长。

这样的整体代换，设而不求的思想方式针对求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而，针对过焦点的圆锥曲线弦长解答利用这样的方式相比较来说有点麻烦，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各自不同的曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

在清楚圆和直线方程求弦长时，可利用将直线方程代入圆方程，消去未知数，得到一个一元二次方程，这当中△为一元二次方程中的 b^2-4ac ，a为二次项系数。补遗：公式2满足椭圆等圆锥曲线不只是圆。

由韦达定理，x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a 代入再通分就可以。

在清楚圆和直线方程求弦长时也可用勾股定理。

（点到直线距离、半径、半弦）